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Toute chose est une existence

Science de l'Existence

ou Théorie universelle des ensembles ou Théorie de l'Universalité
Nouvelle Science, nouvelle vision du Monde, de l'Existence, de l'Univers, de la Nature, de la Vie, de Dieu
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Théorie des univers
De l'axiomatique à la théorématique

Tout le secret de l'Univers
De l'axiomatique à la théorématique
L'Univers fractal

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La Théorie axiomatique des ensembles : la Fausse solution !
Cantor II
Théorie universelle des ensembles

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Tout le secret de l'Univers...

Fractale de MandelbrotFractale de JuliaFractale de JuliaGalaxie spirale
1) Fractale de Mandelbrot 2) et 3) Fractale de Julia 4) Galaxie spirale
(cliquez sur les images pour agrandir)

La similitude est tout simplement sidérante ! Tout le secret de l'Univers est dans la structure fractale;
sa logique est logique des fractales (la Logique Alternative), à découvrir pleinement aujourd'hui;
la solution de tous les "paradoxes" (au sens de contradictions) se trouve dans cette structure;
très simple, mais il fallait y penser !
C'est ce que va maintenant expliquer techniquement la Théorie des univers,
l'ancêtre de la Théorie universelle des ensembles ou Théorie de l'Universalité,
elle-même l'ancêtre de la Science de l'Existence.
La Théorie des univers est en quelque sorte le noyau d'une Galaxie nommée Théorie de l'Universalité,
elle même le noyau d'un Univers nommé Science de l'Existence ou Science de Dieu...
On suit ?

Le Vide, le Plein et les Paradoxes


Vidéos : 1) La science exacte qui ment 2) Toute la lumière sur les Paradoxes

Face aux problèmes des paradoxes relevés dans la théorie des ensembles* de Cantor (Paradoxe de Russell, Paradoxe de Burali-Forti, Paradoxe de Cantor,etc.), on a axiomatisé la notion d'ensemble. En 1922-23 a été mis au point la théorie axiomatique des ensembles* de Zermelo-Fraenkel ou ZF (ou ZFC avec l'axiome du choix). La quasi totalité des mathématiques se déroule dans ce cadre. D'autres théories existent, évidemment.

Mais comme je l'ai montré par quelques exemples dans un document comme La théorie axiomatique des ensembles : la fausse solution ! ou encore dans la vidéo "Toute la lumière sur les Paradoxes", ces théories ne résolvent pas vraiment les problèmes posés par les paradoxes. Et puis l'idée d'une théorie des ensembles avec l'Ensemble vide (l'ensemble n'ayant aucun ensemble comme élément) sans l'Ensemble plein (l'ensemble ayant tous les ensembles comme éléments) est tout simplement une absurdité (une vraie...), comme le fait par exemple de dire "Zéro" sans dire "Infini".

On voit bien que la notion d'Infini est très indispensable en science. La notion d'Infini n'est que le langage numérique pour dire "Plein" ou "Ensemble plein", exactement comme la notion de Zéro est le langage numérique pour dire "Vide" ou "Ensemble vide". Il y a donc quelque part une une contradiction de parler de Vide sans le Plein, même si cette contradiction ne se formule pas (en tout cas pas directement) dans le langage des ensembles.

Par exemple, ce n'est pas parce qu'un dictateur a édicté des lois qui régissent son pays, qui ne le condamnent jamais, qu'il n'est pas un dictateur ou que ces lois ne sont pas mauvaises. De la même façon, ce n'est pas parce qu'un système d'axiomes comme ZF ou un langage formalisé quelconque ne se prend pas lui-même en défaut qu'il ne peut pas être mauvais. Il faut pouvoir juger ce système dans une métathéorie ou un métalangage, ce qui d'une certaine manière est fait en Logique mathématique. Les célébres théorèmes d'incomplétude de Gödel par exemple, ainsi que le Paradoxe de Skolem, sont parmi les phénomènes qui condamnent indirectement la manière actuelle d'aborder les mathématiques et plus généralement l'ensemble des sciences.

"Il faut de TOUT pour faire l'Univers" !

Mais malheureusement, la Logique mathématique repose elle-même sur le même paradigme scientifique, la même philosophie fondamenale, le même principe logique clef qui régit l'ensemble du raisonnement scientifique, pour ne pas dire simplement toute la pensée actuelle. C'est Aristote qui a formulé ce principe il y a 2400 ans en ces termes : « Il est impossible qu’un même attribut appartienne et n’appartienne pas en même temps et sous le même rapport à une même chose » (Aristote, Métaphysique, 1005 b 19-20). C'est tout simplement le fameux principe de non-contradiction.

Il ne s'agit pas de jeter la pierre à ce grand savant que fut Aristote, mais simplement de dire que c'est une grave erreur de rendre la science esclave de ce principe et de penser qu'une autre science, une autre logique, une autre manière de voir les choses, ne peut exister en déhors du principe de non-contradiction. Comme le dit un célèbre dicton : "Il de TOUT pour faire un Monde". De la même façon, "Il faut de TOUT pour faire l'Univers" ! Une chose est donc très simple à comprendre : L'Univers est le TOUT, vraiment le TOUT ! Cela implique qu'il y a dans l'Univers TOUT et le contraire de TOUT ! Ce n'est pas TOUT et n'importe quoi (au sens péjoratif du terme), mais simplement de comprendre que pour toute chose A dans l'Univers, il y a aussi le contraire de A dans le même Univers ! Donc A et le contraire de A sont des attributs du même Univers. Par conséquent, le principe de non-contradiction si cher à la pensée scientifique actuelle, s'arrête là il faut commencer vraiment à comprendre l'Univers dans toute sa diversité et ses aspects opposés ! Etre esclave de ce principe conduit à appeler "contradictions" des situations qui n'expriment que des vérités profondes sur l'Univers. Ces choses ne sont pas des contradictions, mais bien au contraire le problème vient de la logique elle-même, c'est elle qui est en fait contradictoire ! Ce n'est pas parce qu'elle ne se prend pas en défaut, ou que la Logique mathématique (ainsi que l'actuelle théorie des modèles) ne montre pas ses graves failles, qu'elle est bonne. Le problème est que le gendarme est coupable du même crime que celui qu'il doit surveiller, que le médecin souffre de la même maladie que le patient, ou que le guide est tout aussi aveugle que celui qu'il guide... (voir L'anatomie de la Contradiction).

L'alternation, le modèle et la fractale

Le but du présent document est de présenter la Théorie des univers, une théorie axiomatique des ensembles qui à l'origine s'est donné pour but de résoudre d'une manière plus satisfaisante le problème des fondements des mathématiques. Mais au fil des ans, cette théorie a montré que c'est le paradigme scientifique tout entier qu'il faut changer. Sa méthodologie est passée de la traditionnelle axiomatique à une nouvelle manière d'aborder non seulement le problème des ensembles mais la science en général, à savoir la théorématique (voir Logique Alternative, Logique Nouvelle). Cela implique un grand changement dans la notion de négation, qui est le noeud même du problème (voir Le Problème de la Négation). La nouvelle conception de la négation, qui permet enfin une bonne compréhension de l'Univers et de ses profonds secrets, est l'alternation (voir Le principe d'Alternation).

Le présent document propose de découvrir la Théorie des univers et sa logique, qui est simplement la logique fractale, qui est une des caractéristiques essentielles du concept d'alternation. Beaucoup de très importantes notions sont au coeur de l'alternation, entre autre la notion de modèle. Dans la philosophie de l'alternation, quand un modèle est défini, il est applicable pour toute chose ou toute situation ayant les caractéristiques définies par le modèle. Par exemple, l'écriture (A, B) est un modèle appelé "modèle à deux" ou "modèle bivalent" ou "modèle binaire". Ici, les lettres A et B désignent deux choses absolument quelconques. S'il s'agit de la même chose, alors le modèle (A, A) se ramène à un "modèle à un" ou "modèle unaire" (A), et là on est dans un autre modèle. Sinon, si les choses A et B sont différentes, on a un modèle binaire. On se moque de savoir ce que sont les choses A et B, cela peut être tout aussi bien (0, 1), (Vrai, Faux), (Pomme, Poire), (Adam, Eve), (Tom, Jerry), (Dieu, Diable), etc. On s'en fout, il n'y a aucun préjugé dans l'alternation, pas de tabou, pas de discrimination ou de ségrégation entre les choses, pas de racisme, pas d'ostracisme, car il y a de la place pour TOUT ! Car c'est l'Univers, le TOUT, que l'on étudie à travers tous ses modèles ! Et toutes les vérités que je vais établir sur le modèle (A, B) par exemple, sera VALABLE pour tout couple de choses, pour (Dieu, Diable) aussi par exemple ! C'est toute la différence avec l'actuelle vision des choses, et l'actuelle manière d'aborder la science, pleine de préjugés et d'a priori philosophiques, qui font qu'on juge arbitrairement que ceci ou cela fait partie ou non de la science.

La notion de modèle est donc l'une des notions fondamentale de l'alternation, la science "daltonienne" qui ne sait plus "distinguer la couleur des choses et des êtres", qui n'est pas "raciste", et pour qui "toutes choses sont égales" devant l'Univers et avec l'Univers, l'objet de la Théorie des univers. Et une fractale est par définition un même modèle qui se répéte identiquement à lui-même, à l'infini. C'est le secret même de l'Univers, qui se répète en lui-même à l'infini (voir L'Univers fractale).

La notion concrète, physique, naturelle et universelle d'ensemble

La Théorie des univers (l'ancêtre de la Théorie universelle des ensembles, elle-même ancêtre de la Science de l'Existence), propose un voyage qui va de l'actuelle méthode axiomatique (l'approche abstraite et articifielle des choses) à la méthode théorématique (l'approche concrète et naturelle des choses). Elle fait enfin comprendre ce qu'il faut appeler un "ensemble", qui cesse progressivement d'être une notion mathématique abstraite pour devenir une notion physique concrète. On construit les ensembles comme on construit n'importe quel objet physique, car justement, les objets physiques, les objets de l'Univers, sont les ensembles ! Un être humain par exemple est un ensemble fait d'une tête, de ventre, de bras, etc. Un arbre est un ensemble fait de tronc, de branches, de feuilles, etc. Un pays est un ensemble fait d'autres ensembles : sa population, son territoire, ses villes, ses bâtiments, etc.

C'est cela la notion concrète, physique, naturelle, universelle d'ensemble ! C'est elle qui commence ici avec la Théorie des univers et qui devient la Science de l'Existence. C'est ici que l'on va découvrir ce qu'est techniquement cette science, et pourquoi l'entête de ce site porte la mention : Théorie universelle des ensembles ou Théorie de l'Universalité, et aussi : "Nouvelle Science, nouvelle vision du Monde, de l'Existence, de l'Univers, de la Nature, de la Vie, de Dieu".

De l'axiomatique à la théorématique

Les axiomes de ZFC

Rappelons la liste des axiomes de ZF :

A0- Axiome de l'ensemble vide :
" Il existe un ensemble n'ayant aucun ensemble comme élément"

A1- Axiome de l'extensionnalité :
" Deux ensembles ayant les mêmes éléments sont égaux"

A2- Axiome de la paire :
" Pour deux ensembles a et b, il existe un ensemble c dont les éléments sont a et b"
En fait, cet axiome est un théorème, il se déduit de l'axiome de l'ensemble vide et de l'axiome de l'ensemble des parties d'un ensemble.

A3- Axiome de l'ensemble des parties d'un ensemble :
" Pour tout ensemble a, il existe un ensemble b dont les éléments sont les parties de a"

(Un ensemble a est une partie d'un ensemble b, ou est inclus dans b, si tous les éléments de a sont aussi des éléments de b.)

A4- Axiome de la réunion :
" Pour tout ensemble a, il existe un ensemble b dont les éléments sont les éléments des éléments de a".

A5- Schéma de remplacement :
" Pour tout ensemble a et pour toute relation fonctionnelle f, il existe un ensemble b dont les éléments sont les images des éléments de a par f ".

(Une relation, notée R (x, y), est un énoncé portant sur deux variable x et y. Par exemple les énoncés "x appartient à y", "x = y", "Il existe un ensemble ayant x et y pour élément", etc., sont des relations. Cette relation R(x, y) est fonctionnelle si pour tous x, y et y', R(x, y) ET R(x, y') => y = y'. Autrement dit, une telle relation est une correspondance; à un x donné, il lui correspond aucun y ou un seul y, mais pas plus d'un. Dans les trois exemples précédents, seule la deuxième relation est fonctionnelle, car : x = y ET x = y' => y = y'. Une relation fonctionnelle est le plus souvent notée : y = F(x), et y est appelé l'image de x par cette relation fonctionnelle. Bref une relation fonctionnelle est ce qu'on appelle communément une "fonction", mais dans son sens le plus général, pas seulement dans le cadre de nombres.)

A6- Axiome de l'infini :
" Il existe un ensemble inductif"

(Un ensemble a est inductif si l'ensemble vide est un de ses éléments, et si pour tout élément x lui appartenant, l'ensemble: x U {x} est aussi un de ses éléments.)

Ce sont les axiomes de base de ZF, auxquels on ajoute souvent l'axiome A7 suivant :

A7- Axiome de fondation :
" Pour tout ensemble non vide a, il existe un élément b de a tel que a et b soient disjoints"

(Deux ensembles sont disjoints s'ils n'ont aucun élément commun)

ZFC est la théorie avec l'axiome du choix, qui est l'énoncé suivant :

A8-Axiome du choix :
" Pour tout ensemble a non vide dont les éléments sont deux à deux disjoints, il existe un ensemble b ayant un élément et un seul dans chaque élément de a".

Voilà pour la théorie axiomatique standard, et c'est ici que commencent les problèmes que je soulève, et qui nécessitent une autre approche de la théorie des ensembles, donc qui donnent sa raison d'être à la Théorie des univers.

Le problème de l'ensemble plein


Vidéos : 1) La science exacte qui ment 2) Toute la lumière sur les Paradoxes

L'ensemble vide sans l'ensemble plein

Avec ce système d'axiomes, il existe au moins un ensemble vide (axiome A0), et même on démontre avec A1 que cet ensemble vide est unique, et on le note . C'est "L'ensemble n'ayant aucun ensemble comme élément", y compris donc aussi lui-même, qui n'est pas son propre élément.

Toutes les faiblesses (ou même simplement toutes les graves lacunes) de ZF et de toutes les théories axiomatiques classiques des ensembles se résument à une seule : elles parlent de l'ensemble vide sans l'ensemble plein ou ensemble de tous les ensembles. Voici ce que devrait être l'énoncé de l'axiome de l'ensemble plein :

A' 6 : Axiome de l'ensemble plein :
" Il existe un ensemble ayant tout ensemble comme élément"

ou :

Non seulement cet axiome manque, mais on ne peut le déduire comme théorème du système d'axiomes choisi. Et ce système d'axiomes est justement élaboré de telle sorte qu'il rende impossible l'existence de l'ensemble plein et d'autres, qualifiés de "pathologiques", parce qu'ils causent des paradoxes au sens le plus négatif du terme, c'est-à-dire des contradictions. C'est le principe de non-contradiction, très fondamental dans la pensée scientifique actuelle, qui interdit l'existence d'ensembles possédant les propriétés de l'ensemble plein et d'autres, propriétés qualifiées de contradictoires.

Le Paradoxe de Russell

Parmi les plus représentatifs du problème des ensembles, il y a deux paradoxes : la Paradoxe de Russell* et le Paradoxe de Burali-Forti*. Avoir résolu ces deux paradoxes (voir aussi la vidéo Toute la lumière sur le Paradoxes) et même un seul des deux, c'est avoir résolu du même coup tous les paradoxes, car tous ont en fait la seule et même cause. Ce ne sont pas toutes celles qu'on a imaginées (entre autres le "pauvre et innocent" ensemble plein chéri...), mais une qu'on ne soupçonne jamais, le vrai Diable de l'affaire : Le problème de la Négation !

En effet, effet, sans la négation, le connecteur NON, on ne pourrait faire la négation d'une chose donnée, et donc se trouver devant une chose vraie en même temps que sa négation, c'est-à-dire devant des situations du genre : "V ET non-V" ou encore "V <=> non-V" (ou V est un énoncé quelconque), ce qu'on appelle un "paradoxe", à comprendre "contradiction" :

paradoxe de russell
Le schéma de paradoxe de type Russell ou Burali-Forti;
et même simplement de type "Paradoxe du Menteur' :
Vrai <=> Faux.

Le paradoxe de Russell concerne l'ensemble A dont les éléments sont exactement les ensembles (appelons-les les ensembles alpha ou ) qui n'appartiennent pas à eux-mêmes : NON ( ) ou : . La question est de savoir si A appartient à lui-même. Autrement dit, est-il oui ou non un ensemble alpha (). Si oui, alors il n'appartient pas à lui-même, puisque c'est la propriété caractéristique des alpha. Mais s'il n'appartient pas à lui-même, alors il possède justement la propriété des alpha, donc il appartient à lui-même, puisque justement il est par définition l'ensemble des alpha; d'où le "paradoxe" de Russell. Ce paradoxe implique immédiatement que l'ensemble plein (ou ensemble de tous les ensembles) ne peut pas exister. En effet, l'axiome A5 (et plus particulièrement une de ses conséquences nommée le schéma de compréhension) dit que si on a un ensemble E donné, ses éléments x vérifiant une certaine propriété P(x) donnée constituent un ensemble E', qui est donc un sous-ensemble (ou partie) de E. Par conséquent, si l'ensemble plein existe (appelons-le Oméga ou ), alors ses éléments alpha () qui vérifient la propriété de ne pas appartenir à eux-mêmes (la non-auto-appartenance) P() : , forment un ensemble A; chose qu'interdit le "paradoxe" de Russell.

Le paradoxe de Russell est commun comme un paradoxe de la théorie des ensembles. On le qualifie souvent de paradoxe d'"auto-référence", parce qu'une certaine notion fait référence à elle-même, comme la notion d'ensemble (pour l'ensemble de tous les ensembles), ou comme le fait d'être un ensemble qui "n'appartient pas à lui-même". Mais il s'agit d'un mauvais diagnostic, car l'auto-référence n'est pas un problème en soi. Les notions de récurrence ou de récursivité par exemple, sont des situations d'auto-référence qui ne posent aucun problème. Mais c'est quand la négation se mêle de cette auto-réfence que l'affaire se complique

Le Paradoxe de Russell est simplement un paradoxe de logique pure, qui porte sur les notions comme la "relation binaire", le quantificateur universel "TOUT", et surtout sur le connecteur de négation NON. Et à ce titre, il est simplement comme le Paradoxe du Menteur, de la forme : Vrai <=> Faux ou : Vrai <=> NON Vrai. Tout est là.

Russell a d'ailleurs popularisé ce problème sous le nom du "paradoxe du barbier" : "Le barbier d'un village rase tous les hommes du village qui ne se rase pas eux-mêmes. Le barbier se rase-t-il lui-même ?" Et d'une manière générale, posons-nous le problème suivant concernant une relation binaire R et une chose A : "Une chose A entretient la relation R avec toute chose n'entretenant pas cette relation avec elle-même. Est-ce que la chose A entretient cette relation R avec elle-même ?"

Le problème s'écrit simplement ainsi : "Pour tout x, x R A <=> NON (x R x); A R A ? " Et alors pour A la réponse est : A R A <=> NON (A R A).

Et c'est principalement un problème de négation; la dite auto-référence n'y est pour rien, ni le quantificateur TOUT ou la relation R. On se moque même de savoir si on est dans les ensembles, dans les collections, dans les classes, ou dans un village avec un barbier. On se moque aussi de savoir s'il s'agit de la relation d'appartenance ou le fait de se raser. Tans qu'il n'y a pas la moindre goutte de négation dans l'affaire, le problème ne se pose pas. La preuve : posons le problème sans la négation : "Une chose A entretient la relation R avec toute chose entretenant cette relation avec elle-même. Est-ce que la chose A entretient cette relation R avec elle-même ?" Le problème est entièrement posé affirmativement, et il s'écrit :
"Pour tout x, x R A <=> x R x; A R A ? " Et alors pour A la réponse est : A R A <=> A R A.

On a donc beau tourner la chose comme on veut, il n'y a aucun problème ! Et pourtant il y a tous les autres ingrédiens : le même contexte, le mot TOUT, la même relation, l'auto-réfence, etc. Il manque un seul ingrédient pour que le problème survienne : la négation ! C'est pareil pour le Paradoxe du Menteur. La phrase "Je dis la vérité" ne pose aucun problème, car il n'y a aucune négation, de mot "NON" caché quelque part. Mais ce n'est pas pareil avec la phrase "Je mens" ! Car dans le mot "mentir" il y a le mot "NON", ici la négation de la vérité ou du vrai. C'est sur la négation que toute l'attention doit porter. (voir les documents L'anatomie de la Contradiction, La logique des Shadoks, Le problème de la Négation, Le principe d'Alternation). Quel genre de négation fait-on en science ? D'elle dépend entre autres la nature de la notion d'ensemble.

L'artifice du porc et cochon

Ce qui est intuitivement et philosophiquement désagréable, c'est que la notion d'ensemble serve à rassembler les objets vérifiant une propriété ou un attribut donné, mais pas l'attribut que la notion est elle-même ! Pourquoi pas l'ensemble de tous les ensembles, exactement comme on parlerait de l'ensemble de tous les nombres entiers naturels, de l'ensemble de tous les humains ou de l'ensemble de toutes les étoiles ? Si la notion d'ensemble ne rassemble pas elle-même, elle a un problème d'existence, car par exemple si l'ensemble de tous les humains n'existe pas, alors c'est que les humains n'existent pas. Et au pire, si aucun humain n'existe, l'ensemble de tous les humains est alors simplement l'ensemble vide, qui lui existe. Et plus généralement, si aucun objet ne vérifie un attribut ou une propriété donnée, alors l'ensemble de tels objets est simplement vide, et c'est le pire cas d'ensemble qu'on puisse avoir. Mais dire que des objets vérifiant une propriété donnée existent tandis que leur ensemble n'existe pas, est quelque chose de psychologiquement insupportable, il faut l'avouer. Ou alors la vraie "pathologie" n'est pas où l'on pense, si on trouve cela normal, et que l'on bâtit un système d'axiomes légiférant cette situation.

Les axiomes de ZF par exemple permettent d'introduire une notion périphérique celle de collection. Une collection est la simple donnée d'une relation à un argument ou propriété P(x). Tous les ensembles vérifiant cette propriété forment une collection, qui n'est pas nécessairement un ensemble. Par exemple, la propriété P(x) : "x = x", ou P(x) : "IL EXISTE un ensemble qui a x pour élément", est vérifiée par tout ensemble. Elle définit donc la "collection de tous les ensembles", notion qui doit remplacer celle d'"ensemble de tous les ensembles". On voit donc qu'il y a bel et bien une nécessité de pouvoir regrouper en un tout tous les objets vérifiant une même propriété donnée. C'est cette notion que l'on désigne intuitivement par le mot "ensemble". Mais que l'on soit obligé d'introduire un autre mot qui dit fondamentalement la même chose, que l'on doit séparer du premier, juste pour éviter des paradoxes, fait de ce système d'axiomes un simple art de séparer porc et cochon ! Et non seulement cela, ce système ne résout pas vraiment le fond problème (c'eût été un moindre mal si ce "jeu de mots" avait vraiment suffit), car rien n'empêche la pensée de pousser la question en avant pour poser cette fois-ci avec la même pertinence le problème de la "collection de toutes les collections" ! Quel mot faudrat-t-il cette fois-ci introduire avec le même genre d'artifices pour "éviter" ce paradoxe ? Le mot classe pour parler de "classe de toutes les collections" ?

Il y a actuellement en théorie axiomatique des ensembles certaines notions orphélines de leur ensemble, à commencer par la notion d'ensemble elle-même, qui ne possède pas d'ensemble pour rassembler les objets répondant à cet attribut. Beaucoup de propriétés P(x) sont ainsi privées du droit d'avoir un ensemble pour rassembler les objets qui les satisfont. Etre un "ensemble qui n'appartient pas à lui-même", un ordinal, un cardinal, etc. font partie des propriétés ainsi orphéline. On peut croire que le problème est résolu dès lors qu'on leur a trouvé un père ou une mère adoptive appelée "collection", pour les rassembler, comme une poule rassemble ses poussins sous elle. Mais il n'en est rien, car cette poule est elle-même orphéline de la même façon, à un autre niveau. Or il est très important que la notion d'ensemble s'applique à elle-même, car c'est ainsi qu'elle livre ses plus grands secrets, et même tous simplement les plus grand secrets de l'Univers ! Car c'est en fait l'Univers, le TOUT, qui se cache derrière l'ensemble plein, l'ensemble de tous les ensembles. La logique actuelle, à cause des bases sur lesquelles elle repose (et en particulier le fameux principe de non-contradiction), est trop faible pour appréhender, les propriétés très spéciales très importantes de l'Univers. Résoudre ce problème et restaurer l'ensemble plein (l'Univers donc...) à la place de droit, telle est la raison d'être de la Théorie des univers. Poursuivons le diagnostic avec d'autres très importantes notions de la théorie des ensmbles, comme par exemple la notion d'ordinal.

Le Paradoxe de Burali-Forti

Dans l'exposé du Paradoxe de Russell, c'est à dessein que j'ai choisi d'appeler alpha (ou ) ces ensembles qui "n'appartiennent pas à eux-mêmes". Car la tradition actuelle est de désigner par une lettre grecque un ordinal. Le Paradoxe de Burali-Forti* est le paradoxe du plus grand ordinal ou du dernier ordinal. Il concerne donc les ordinaux, et plus précisément l'ensemble (appelons-le encore une fois A) de tous les ordinaux.

Un ordinal est un ensemble spécial possédant un certain nombre de propriétés très importantes, dont celles-ci, qui sont au coeur du Paradoxe de Burali-Forti :

Alpha 1 : La relation d'appartenance est une relation de bon ordre strict dans un ordinal; grosso modo cela veut dire que ses éléments sont ordonnés avec la relation d'appartenance () très exactement comme les nombres entiers naturels le sont avec la relation d'infériorité stricte (<), et que quand on puise n'importe quelle quantité des éléments d'un ordinal, il y a toujours parmi eux un qui est plus petit que tous les autres. D'ailleurs, dans une théorie axiomatique classique comme celle de ZF, les nombres entiers naturels sont les tout premiers de la famille des ordinaiux; mais il ne faut surtout pas confondre ces deux notions en général, car si un entier naturel est un ordinal particulier, un ordinal n'est pas forcément un entier naturel. Mais il suffit d'abandonner le
principe de non-contradiction qui est à l'origine de tout cela, de changer donc de logique (et plus précisément de négation) pour que la notion d'ordinal et celle de nombre entier naturel deviennent simplement la même chose. Et même, tout ensemble devient un ordinal ! En fait, c'est une négation anormale qui fait qu'on sépare ce qui ne devait jamais être séparé. Et c'est la résolution de cette anomalie qui commence ici et avec la Théorie des univers. Mais pour l'instant, parlons des choses telles qu'elles sont dans les théories des ensembles faites avec la logique classique, comme ZF...

Alpha 2 : Un ordinal
ne peut pas appartenir à lui-même; une conséquence de Alpha 1, et précisément la caractère strict de l'ordre, qui implique fortement la négation; elle brise la réflexivité d'une relation d'ordre normale, c'est-à-dire le fait que l'ordre s'applique à soi-même, le fait d'être plus grand ou plus petit que soi-même ! En fait, les ordinaux sont les ensembles cachés derrière les ensembles alpha du Paradoxe de Russell : . La propriété clef qui est la cause du paradoxe est justement de le fait de NE PAS appartenir à soi-même (et non pas d'apparternir à soi-même, qui ne pose aucun problème) car justement c'est la négation qui pose problème.

Alpha 3 : Tout ordinal
est transitif; ce qui signifie que les éléments de ses éléments sont aussi ses éléments; une conséquence de Alpha1, mais précisément de la transitivité de la relation d'ordre, mais pas nécessairement de son obligation d'être strict, qui, elle, est lié au problème de la négation.

Alpha 4 : Tout ensemble transitif d'ordinaux est un ordinal; une sorte de réciproque de Alpha 3; si donc un ensemble dont tous les éléments sont des ordinaux, et tel que les éléments de ses éléments sont aussi ses éléments, alors cet ensemble est un ordinal.

Alpha 5 : Les éléments d'un ordinal sont tous des ordinaux ; une conséquence de toutes les propriétés précédentes.

De toutes ces propriétés il découle tout simplement que l'ensemble A de tous les ordinaux doit être un ordinal, et il est le dernier d'entre eux, puisque tous lui appartiennent (ce qui chez les ordinaux signifie que tous lui sont inférieurs). Mais si A est un ordinal, il appartient à lui-même, puisqu'il est par définition l'ensemble de tous les ordinaux. Cela contredit alors Alpha 2, qui interdit à un ordinal d'appartenir à lui-même; d'où le Paradoxe de Burali-Forti.

Mais comme expliqué dans les commentaires accompagnant Alpha 1 et Alpha 2, il ne s'agit que d'une autre forme du Paradoxe de Russell. Car les ordinaux sont les cas fondamentaux de ces ensembles alpha qui (à cause de la négation actuelle) ne doivent pas appartenir à eux-mêmes : .

La philosophie de la Théorie des univers

Avant de comprendre que le vrai problème des paradoxes est le problème de la négation, la Théorie des univers (élaborée entre 1998 et 2003 avant de de devenir la Théorie universelle des ensembles puis la Science de l'Existence depuis 2003) a tenté de résoudre ces problèmes de manière axiomatique, mais toutefois en s'éfforçant d'en avoir recours le moins possible. Je me suis efforcé d'exhiber le plus possible des modèles naturels (voir Le modèle universel ci-dessous) satisfaisant les axiomes de ZFC, ne posant en axiome que ce que je ne pouvais pas démontrer à l'époque.

L'objectif de la Théorie des univers était avant tout de trouver le moyen de restaurer l'ensemble plein en théorie des ensembles, tout en évitant les paradoxes ou en essayant de bien comprendre leur nature et leur mécanisme, afin d'y apporter la meilleure réponse. Dans le meilleure des cas (pensais-je), on pouvait les résoudre (ce que j'espérais faire) et dans le pire, ils n'étaient pas si dangereux qu'on le pensait. L'axiome de l'ensemble plein pouvait cohabiter d'une certaine manière avec les autres axiomes. J'avais cette conviction, et il fallait trouver le moyen de la concrétiser.

Pour cela, à la manière du vaccin qui consiste à introduire volontairement le virus affaibli dans l'organisme pour lui apprendre à lutter contre le mal, il fallait utiliser les paradoxes eux-mêmes et leurs enseignements au sein même de la nouvelle théorie, pour la rendre plus forte contre eux. L'idée était simple : créer dans la théorie des ensembles des ensembles très spéciaux U appelés univers, qui à leur niveau sont ce que la collection (ou Oméga ) tout entière des ensembles est. Autrement dit, il fallait définir des ensembles U qui, munis de la relation d'appartenance dans , vérifient les mêmes axiomes que , ou des axiomes suffisamment essentiels pour qu'on puisse appeler l'ensemble U une "théorie des ensembles" ou UN "ensemble de tous les ensembles". Les éléments de U sont appelés les ensembles au sens de U, à différencier des ensembles au sens général, à savoir au sens de l'Univers général dans lequel U est plongé. Ainsi, donc, à défaut que soit un ensemble (donc L'ensemble de tous les ensembles), il a en lui des espéces de clones de lui-même ou des versions de lui-même qui eux le sont, qui sont DES ensembles de tous les ensembles, le premier mot "ensemble" qui apparaît dans cette expression étant au sens général du terme dans , et le second mot "ensemble" signifiant "ensemble au sens de U" ou simplement "élément de U". Cela permet ainsi de n'utiliser qu'un seul mot "ensemble", qu'une seule relation d'appartenance, qu'un seul langage, etc., et pourtant d'obéir à la différenciation entre "porc et cochon", nécessaire pour ne pas tomber dans les paradoxes.

Si un ensemble U appartient à un autre ensemble V, on a tout à fait le droit de faire la différence entre les notions d'élément de U et celle d'élément de V. Cela n'est pas intuitivement choquant comme l'affaire de la séparation des mots "collection" et "ensemble", puisqu'ici, que l'on parle de U, de V, des éléments de U ou des éléments de V (dont U), on parle toujours des ensembles. Il suffit maintenant de s'arranger très astucieusement pour ce que U et V aient des propriétés spéciales communes (celle d'univers justement), qui les rendent semblables à l'Univers général . Et de cette façon, on peut dire d'une certaine façon, que est un ensemble (via U ou V), qu'il appartient à lui-même, propriété que doit posséder l'ensemble de tous les ensembles. Les propriétés de en tant qu'ensemble qu'on ne pouvait pas étudier ou connaître, on peut maintenant les étudier et les connaître à travers ses clones que sont les univers, les ensembles du genre U et V. Je n'en avais pas conscience à l'époque, mais ce que j'étais en train d'élaborer ainsi était simplement une structure fractale de l'Univers . L'Univers tout entier qui re répète infiniment en lui-même et à toutes les échelles. C'était la simple solution aux problèmes des paradoxes.



Un simple exemple de construction d'une Fractale :
1) Au départ, Carré Rouge ou Vert;
2) Diviser le Carré en 9 plus petits Carrés; inverser la couleur du Carré du milieu : s'il est noir il devient blanc et vice-versa;
3) Répéter l'opération précédente pour chacun des 9 nouveaux petits Carrés; et ainsi de suite.

L'auto-référence; être différent d'un autre tout en étant pourtant l'autre; appartenir à soi-même tout en n'appartenant pas à soi-même; ne pas être le dernier ordinal tout en l'étant pourtant; ne pas être l'ensemble de tous les ensembles tout en l'étant pourtant, etc.; autant de phrases "contradictoires", qui ne le sont pas en fait. Le secret se trouve dans la structure fractale ! Il ne faut plus que la notion de fractale et d'autres (comme par exemple aussi la relation d'équivalence) soient objets d'une d'une logique ou d'une science fondée sur un principe étriqué (le principe de non-contradiction) où toute leur puissance et leur toute-puissance est étouffée, et où leurs caractéristiques profondes et sublimes sont appelées des "paradoxes" ou "contradictoires". Mais il faut que toute la logique ainsi que toute la science repose désormais sur le paradigme de la structure fractale. Le principe qui fonde une telle logique est le principe d'alternation, et la logique associée est la Logique Alternative.

Le modèle universel

Je le nomme A' 6 parce que comme on va le voir plus loin, il ne s'agit que de la forme ultime de l'axiome de l'infini. Toute la question est de trouver la voie d'intégration de cet axiome dans le système d'axiomes de ZFC. C'est un axiome de nature "incompatible" avec les autres, certes, mais il s'agit de comprendre vraiment pourquoi. Il faut trouver la cause exacte du problème afin de trouver enfin la voie de la compatibilité. Cette voie était en fait inscrite dans une très agréable découverte faite en 1987, et qui m'a fait nourrir l'espoir que tous les axiomes de ZFC pouvaient être démontrés d'une manière très naturelle. Autrement dit, le théorie des ensembles ne devait pas être un système d'axiomes (d'où le mot axiomatique) mais un système de théorèmes (d'où mot théorématique). La démonstration fut faite en effet pour tous les axiomes, sauf un, qui résistait à cette méthode de démonstration et pour cause : c'est une méthode finitiste, une méthode reposant sur une construction finie, celle que je vais brièvement exposer ci-après.

Nous allons construire un modèle de théorie des ensembles, appelé le modèle universel (et pour cause !), satisfaisant naturellement tous les axiomes (donc qui les transforme en théorèmes) sauf celui de l'infini. Et à partir de ce modèle universel, nous allons dans un second temps voir comment bâtir un grand modèle (l'Univers tout simplement) satisfaisant cette fois-ci tous les axiomes de ZFC (plus l'axiome de fondation A7), et au-delà ! En effet, l'Univers doit satisfaire A'6, le super-axiome de l'infini ! En effet, ce super-axiome devenu un théorème (par les vertus de la méthode théorématique que l'on voit ainsi progressivement à l'oeuvre), les paradoxes comme ceux de Russell (paradoxe de l'ensemble des ensembles non-éléments d'eux-mêmes), de Burali-Forti (paradoxe de l'ensemble de tous les ordinaux ou du dernier ordinal), bref l'ensemble de tous les paradoxes, disparaissent purement et simplement ! Autrement dit, ces paradoxes ne seront plus des contradictions au sens actuel du terme, c'est-à-dire au sens de la logique fondée sur le principe de non-contradiction. Mais ces paradoxes seront de simples inoffensifs théorèmes au sens d'une nouvelle logique, obéissant à un principe supérieur, le principe d'alternation. On sera alors passé de l'axiomatique à la théorématique. Le mode d'emploi commence par le modèle universel qu'on va découvrir maintenant.

La structure physique des ensembles

On se donne deux symboles quelconques, par exemple 0 et 1 ou a et b, ou encore les symboles "{" et "}". Le premier est appelé "parenthèse ouvante" et le second "parenthèse fermante". Le but est de réaliser avec ces parenthèses tous les assemblages d'un type très spécial, appelés les "parenthésages" ou les "assemblages ensemblistes" ou simplement "ensembles", qui sont ni plus ni moins les structures possibles de parenthèses. Si on considère par exemple l'expression : (x + 2)((x - 7)² + 4(x - 5)) et qu'aux parenrhèses dans cette expression, elle a la structure suivante : ( )(( )( )), qui est aussi en écritrure binaire le nombre de huit bits suivant : 01001011; ou encore, si on adopte un alphabet de seulement deux lettres a et b, cette même structure s'écrit comme le mot de huit lettres suivant : abaababb. C'est à ce type de structure de très grande importance qu'on va s'intéresser maintenant, car elle cache de très grands secrets de la notion d'ensemble, de ce qu'il faut appelée un "ensemble". Ici commence une construction physique de cette notion, ici commence la compréhension de la nature de l'Univers au sens physique du terme, la découverte de ses profonds secrets. Ici on va construire un modèle élémentaire de l'Univers, un modèle universel, ou simplement un univers.

Tous les "ensembles" en ce sens-là sont obtenus par récurrence avec les règles suivantes :

E1) L'assemblabe { } ou 01 ou ab formé de la parenthèse ouvrante et fermante est un ensemble, appelé par définition l'ensemble vide, noté .
E2) Si A est un ensemble, alors l'assemblage {A} obtenu en prenant en sandwitch l'assemblage a entre les parenthèses, est un nouvel ensemble, appelé un singleton. A est appelé l'élément de ce singleton {A}.
E3) Si A et B sont deux ensembles, alors l'assemblage AB obtenu en concaténant simplement A et B, est un nouvel ensemble appelé la réunion de A et B. Tous les éléments de A et B sont aussi appelés les éléments de AB.
E4) Tous les ensembles sont obtenus par application répétée des règles précédentes.

L'ensemble (au sens intuitif du terme) de ces parenthésages (ou "ensembles"au sens nouveau du terme) est appelé le modèle universel ou l'univers de base ou encore l'univers de référence. On l'appelle l'Oméga et on le note . Avec l'ensemble vide , ils constituent les deux exemples fondamentaux d'une notion générale, la notion d'univers, qui sera très précisément définis à partir d'eux. Un univers sera noté de façon générale U, ou par les lettres U, V, W, etc. On connaît donc déjà deux exemples importants de cette notion, qui serviront à créer tous les autres, selon une structure spéciale et très importante, la structure fractale (on y reviendra).

Il est très facile de démontrer que tout ensemble A est de la forme : A1 A2 A3 ... An, où Ai est soit un singleton, soit l'ensemble vide. Et l'assemblage } { , qui n'est pas un ensemble, est appelé une virgule ou un séparateur, et est noté "," . Cela fait qu'un ensemble de la forme {A1} {A2} {A3} ... {An} peut être noté : {A1, A2, A3, ... , An}; on définit ainsi très rigoureusement la notion habituelle des ensembles finis, ainsi que leur notation, qui n'est plus une simple convention, mais traduit la structure physique de l'ensemble en question.

L'égalité et l'équivalence

Dans l'absolu, deux ensembles A et B sont égaux s'ils sont exactement le même assemblage de parenthèses, donc le même nombre binaire écrit avec les deux bits 0 et 1, ou encore le même mot dans l'alphabet dont les seules deux lettres sont a et b. Cette égalité est la conception classique de cette notion, qui dit que toute chose X n'est égale qu'à elle-même : X = X. Cette égalité basique est très importante, mais il faut la mettre à sa juste place, sinon on fait une science très pauvre et aveugle. Le fameux principe de non-contradiction formulé par Aristote et très fondamental dans le paradigme scientifique actuel, interdit par exemple que l'on dise que deux choses différentes puissent être égales en même temps. Ainsi par exemple, à partir du moment où j'ai posé que 0 et 1 ou a et b qui me servent à faire la présente étude sont des objets différents, je n'ai plus le droit avec ce principe de dire que ces deux objets sont égaux. Et pourquoi donc ? C'est moi qui ai décidé de les distinguer quand je juge nécessaire de les distinguer, et donc c'est moi aussi qui décide de ne plus les distinguer, quand je juge nécessaire de ne plus les distinguer. Je peux par exemple dire que moi à 50 ans je suis différent du bébé que j'étais à ma naissance, que lui et moi nous ne sommes pas le même être, j'ai raisons bien justifiées de faire cette distinction. Mais je peux tout aussi bien dire en montrant mon album de photos d'enfance à des amis que ce bébé et moi nous sommes le même être; et j'ai aussi de bonnes raisons de ne pas faire de distinction entre lui et moi. Ainsi donc, selon le contexte où la nécessité, nous sommes le même être ou nous ne le sommes pas. En d'autres termes, selon le contexte je suis égal à moi-même ou différent de moi-même. Et d'une manière générale, selon le contexte ou ce que je veux exprimer, a est a ou a est différent de a. Autrement dit encore, selon le contexte, je distingue a et b ou je peux décider de mettre fin à cette distinction et de les voir comme le même être. C'est bien ce que l'on fait avec la variable X par exemple. On écrit tantôt X = 0, tantôt X = 1, etc. (voir le document La Théorie axiomatique des ensembles : la fausse solution !). Ce faisant, je décide simplement quand X est égal à 0, donc différent de 1, et quand au contraire X est égal à 1.

L'égalité stricte (de type 0 = 0, 1 = 1, bref a = a), est étroitement liée au principe de non-contradiction. Elle n'est qu'un cas particulier d'une conception plus large et universelle de l'égalité, qui est la relation d'équivalence. L'égalité stricte a = a (et le principe de non-contradiction qui lui est équivalent) donne une science pauvre et très handicapée si on se limite à elle. Mais en revanche l'équivalence est une conception de l'égalité infiniment plus large, plus puissante et plus féconde. Elle commence là où l'on se donne des critères pour dire de deux choses différentes a et b qu'elles sont la même chose, et on a des raisons de le dire. En effet, deux choses a et b ont toujours quelque chose en commun qu'on appellera c, une certaine propriété commune c ou un certain attribut commun c; et à défaut, il s'agit de l'attribut commun c que toutes les choses ont, à savoir justement la qualité de chose (voir Chose, Existence, Ensemble). Et au regard de cette chose c qu'elles ont en commun, a et b sont égales; on dira qu'elles sont égales modolo c. Par exemple, deux humains a et b sont égaux au regard de leur qualité commune d'humain, mais vont se différencier sur d'autres critères, les critères propres (la couleur, la taille, le sexe, etc.). Et deux humains de même couleur sont aussi parfaitement égaux au vu des critères humain et couleur, et vont se différencier sur d'autres, etc. Et selon que l'on considère ce qui est commun à a et b ou au contraire ce qui les différencie, on décide que a et b sont la même chose ou deux choses différents. C'est ainsi par exemple que deux électrions ou deux protons a et b, sans aucune autre précision ou critère de différenciation, sont jusqu'à nouvelle ordre le même électron ou le même proton. Et si on dit que a et b sont distincts sans dire pourquoi, cela sous-entend un certain critère de différenciation. Et à tout moment on peut décider de ne plus tenir compte de ce critère mais de ne regarder que ce qui fait l'unité ou l'unification de a et b.

C'est ainsi que l'on fait la science avec l'équivalence, notion d'égalité infiniment plus puissante que la stricte égalité a = a. L'équivalence signifie forcément qu'on ne fonctionne plus avec le principe de non-contradiction, qui limite à la seule stricte égalité 0 = 0, 1 = 1, a = a, b = b, et qui appelle une "contradiction" le fait de dire : 0 = 1 ou a = b. L'équivalence est très liée à la notion d'ensemble dont justement nous sommes en train d'étudier l'anatomie la plus profonde, car parler de "propriété commune c", d'"attribut commun c", etc., que a et b possèdent, c'est simplement parler d'un certain ensemble c auquel a et b appartiennent. En effet, un ensemble est défini par une certaine propriété caractéristique que partagent tous ses éléments. On dira donc de deux éléments a et b d'un certain ensemble c, qu'ils sont égaux modulo c. Et l'ensemble c est appelé une classe d'équivalence ou une classe d'égalité. La notion d'ensemble est tout simplement la notion générale de classe d'équivalence ou classe d'égalité. C'est une des nombreuses manières de définir la notion d'ensemble. Et la classe d'égalité la plus grande qui soit est la classe Univers, et la propriété caractéristique de ses éléments est la notion de chose . Deux choses a et b partagent cette propriété commune miminale, cet attribut commun fondamental, qui est la qualité de chose ! C'est elle qui soude toutes les choses, les rassemble ou les assemble pour faire la chose spéciale appelée l'Univers, qui est par définition l'Ensemble de toutes les choses (voir Chose, Existence, Ensemble).

L'Univers est le problématique Ensemble plein que nous sommes justement en train d'étudier ici, nous sommes en train de comprendre pourquoi on ne doit pas parler de l'axiome de l'ensemble plein A'6 : " Il existe un ensemble ayant tout ensemble comme élément". Mais en fait, nous avons déjà un début de réponse à la question (pour ne pas dire toute la réponse), car cela tient au principe de non-contradiction et à la conception de l'égalité qui lui est liée, à savoir seulement l'égalité stricte, du type : 0 = 0, 1 = 1, a = a, b = b. Par conséquent, avec la notion d'égalité qui commence maintenant, avec la relation d'équivalence que nous allons définir à présent (et qui généralise l'égalité stricte), commence aussi l'abandon du principe de non-contradiction ! Nous commençons ainsi à entrer dans un principe plus fort, l'alternation, qui lui est très lié à l'équivalence. Nous commençons à abandonner l'axiomatique pour la théorématique, car à la clef tout sera démontré et on n'aura plus besoin de faire la science avec des axiomes ou des hypothèses.

L'équivalence entre deux ensembles

Aussi étonnant que cela puisse paraître, avec le modèle universel que nous venons de définir, c'est-à-dire avec l'ensemble (au sens pour l'instant intuitif du terme) que nous venons de construire par récurrence, nous avons aussi défini tout ce qu'il faut appeler un ensemble ! Tous les ensembles possibles et imaginables ont été construits ! Nous avons donc l'Ensemble de tous les ensembles (ou Ensemble plein), et même bien plus que cela : nous avons construit toutes les choses de l'Univers, nous savons comment elles sont faites physiquement ! Il a suffi pour cela d'avoir fait cette simple récurrence. Le reste est maintenant une simple affaire d'équivalence, et elle aussi sera définie par récurrence ! L'équivalence aura d'abord pour but de nous donner des critères pour dire quand on peut dire que deux ensembles A et B (ainsi construits) sont égaux. Et dans un second temps, la même équivalence va nous dire comment obteinir à partir d'un ensembleA donné que nous avons construit, un ensemble plus grand, infiniment plus grand ! Bref elle permettra de construire par récurrence tous les ensembles, toutes les choses de l'Univers ! Elles le sont en fait déjà. Mais nous allons comprendre pourquoi avec l'équivalence...

Il existe une infinité d'équivalences sur les parenthésages (les ensembles) que nous avons définis, l'égalité pure et simple et au sens strict, étant un cas très particulier. Avec cette équivalence canonique, l'opération de réunion que nous avons définie avec la règle E2 n'est pas commutative. En effet, pour deux ensembles A et B, les assemblages AB et BA ne sont pas égaux au sens canonique du terme. Par exemple prenons A l'ensemble {{ }} ou 0011 ou aabb et pour B l'ensemble {{ }{ }}{ } ou 00101101 ou aababbab. On a : AB = {{ }}{{ }{ }}{ } ou 001100101101 ou aabbaababbab; et BA = {{ }{ }}{ }{{ }}ou 001011010011ou aababbabaabb, ce qui n'est pas la même séquence de bits. Donc AB et BA ne sont pas égaux au sens canonique du terme, l'opération définie dans E2 n'est donc pas commutative. Mais on peut vérifier aisément qu'elle est par contre associative, car (AB)C = A(BC) = ABC, puisqu'on ne touche pas à l'ordre des ensembles A, B et C dans cette concaténation.

Là où une certaine équivalence ou égalité (ici l'égalité canonique) interdit la commutativité, on peut définir une autre qui l'autorise. Il suffit que pour cette équivalence la permutation de l'ordre dans une chose donne une chose aui lui est équivalente. Et le but est simplement de définir maintenant une équivalence qui vérifie les propriétés standard de la réunion de deux ensembles :

R1) A = A ; l'ensemble vide est l'élément neutre pour la réunion.
R2) A A = A ; l'idempotence de tout ensemble pour la réunion.
R3) A B = B A; commutativité de la réunion.
R4) (A B) C = A (B C) ; associativité de la réunion.

Pour définir très rigoureusement une équivalence satisfaisant ces règles, il faut définir un certain nombre de très importantes notions, qui concernent la structures des ensembles. La première est la notion de subélément, qui généralise la notion d'élément d'un ensemble A. Elle est définie par récurrence de la manière suivante : A est appelé le subélément d'ordre 0 de A. Les éléments de A sont appelés les subéléments d'ordre 1 de A. Pour un entier n donné, un subélément d'ordre n + 1 de A est un élément d'un subélément d'ordre n de A. Intuitivement, la notion de subélément traduit le niveau où se situe une paire de parenthèses ouvrante-fermante dans les imbrications de parethèses. L'ordre d'un subélément B de A est aussi appelé la profondeur à laquelle il se situe dans les imbrications des parenthèses qui forment A. A lui-même est à la profondeur 0 dans lui-même. Dans le singleton C = {A}, sa profondeur passe à 1, car il est un élément de C. Du coup, la profondeur du subélément B de A augmente d'une unité dans C, de deux unités par exemple dans D = { }{{A}{ }}, de trois unité dans E = {{ }{{A}{ }}}, etc. Et A est un subélément d'ordre 3 de D, car il se situe à une profondeur de 3 niveaux dans D. Il faut ajouter 3 à la profondeur de tous les subéléments de A, pour obtenir leur profondeur dans E. Et quand on navigue dans les profondeurs d'un ensemble A donné, à un moment donné on tombe forcément sur l'ensemble vide { }, puisque la construction des ensembles a commencé par ce très important ensemble (règle E1). ceci à lui seul signifie que les ensembles ainsi construits satisfont l'axiome de fondation A7.

D'autres définitions assez faciles, dont celle d'une relation d'équivalence sur ces ensembles, ainsi qu'une définition d'un ordre spécial sur ces ensembles ainsi définis, permet d'introduire la notion d'égalité entre deux ensembles. Par exemple, les assemblages { }A et A{ } sont équivalents, ce qui traduit l'idée que la ré

{ }{ }{ } sont la réunion de trois ensembles vides. Cet assemblage va équivaloir à { }. Ces deux ensembles sont donc "égaux", modulo cette relation d'équivalence. Et aussi les assemblages comme A, AA , AAA, etc., sont équivalents à A. Et AB et BA sont équivalents; l'ordre d'assembla

Ces ensembles ainsi définis avec cette relation d'équivalence qui permet de parler de l'égalité entre deux ensembles, il est très facile de prouver que ces ensembles satisfont tous les axiomes précédents, sauf évidemment l'axiome de l'infini A6, puisqu'ils sont par nature des ensembles finis. Ces ensembles, du fait de leur caractère fini, satisfont aussi l'axiome de fondation A7 et l'axiome du choix A8. Il est donc démontré que le système d'axiomes de ZFC (+ A7) moins l'axiome de l'infini est un système de théorèmes. Ceci est un premier pas vers la théorématique, à savoir une théorie des ensembles dont les énoncés fondateurs sont tous des théorèmes.

Le seul véritable axiome sur lequel tous les efforts de démonstration vont maintenant porter, et surtout qui va livrer les ultimes secrets des ensembles et de leur structure (déjà bien éclaicie par la structure des parenthèses), est donc l'axiome de l'infini. A6. C'est qui, au fur et à mesure de la découvertes des secrets sur la nature des ensembles, va évoluer vers un axiome nommé l'axiome des univers, l'unique vrai axiome et fondateur de la Théorie des univers. Puis il évoluera pour devenir l'Axiome universel des ensembles : "Toute chose est un ensemble", quand un second mot clef le mot chose, sera adjoint au mot ensemble. Son corollaire immédiat est A' 6 , l'axiome de l'ensemble plein : " Il existe un ensemble ayant tout ensemble comme élément". En effet, on peut définir une chose spéciale, qui est simplement l'ensemble de toutes les choses. C'est la définition naturelle et intuitive de l'Univers, au sens physique du terme. Mais cet axiome a pour conséquence que l'Univers n'est autre que l'ensemble de tous les ensembles (ou ensemble plein), puisque toute chose est un ensemble. Il pose donc d'office l'existence de l'ensemble plein, car l'Univers existe ! Il y a donc un conflit logique entre A'6 et les autres axiomes (maintenant des théorèmes démontrés par les parenthésages), mais l'existence de l'Univers indique qu'une solution a ce conflit existe !

Et avec un troisème mot clef, le mot existence emprunté au quantificateur existentiel ("IL EXISTE"), l'Axiome universel des ensembles va se transformer en Théorème de l'Existence : "Toute chose existe". Alors cela signifie simplement l'abandon de l'axiomatique et aussi du principe de non contradiction, car en fait c'est lui qui posait problème !

Mais revenons dans la chronologie de la Théorie des univers, pour découvrir ce que nous apprend son axiome clef, l'axiome des univers. Il nous montre simplement le secret de la structure des ensembles, mais aussi de la structure de l'Univers, qui est simplement une structure fractale : l'Univers se répète infiniment en lui-même, à la fois en lui-même et hors de lui-même, à la fois appartenant à lui-même et n'appartenant pas à lui-même ! Contradictoire , et pourtant ce n'est qu'une contradiction apparente; cela s'appelle simplement une structure fractale ! La solution aux paradoxes et à tous les problèmes logiques se trouvent dans cette structure. Et c'est l'axiome des univers qui va la révéler.

(Ce document n'est pas complet. Je suis sur plusieurs chantiers de rédaction en même temps. Il est proposé en l'état pour que le lecteur pressé de savoir de quoi il retourne avec la Théorie de l'univers, prenne connaissance de l'essentiel sans attendre que je l'achève. La version complète sera proposée dès que possible...)


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