L'Univers TOTAL U
est l'Ensemble de toutes les choses.
IL a une Structure FRACTALE.
IL est le Paradigme d'une nouvelle Science :
la Théorie Universelle des Ensembles,
la Science de l'Univers TOTAL,
la Science de l'ETRE, la Science de DIEU...
Sommaire de l'Introduction
La Théorie universelle des ensembles,
- la théorie des ensembles qui a pour objet d'étude
l'Univers TOTAL: l'Ensemble de toutes les choses,
- la théorie des ensembles qui a pour paradigme
l'Univers TOTAL: l'Ensemble de toutes les choses.
Le mot clef de cette théorie est le très universel et très important mot
CHOSE.
Et le verbe clef
de cette théorie est le très important et fondamental verbe
ETRE.
Le verbe ETRE
est tout simplement le verbe correspondant au mot
CHOSE et vice-versa,
exactement comme le verbe EXISTER
est tout simplement le verbe correspondant au mot
EXISTENCE et vice-versa.
Au fait, le saviez-vous? Vous en doutiez-vous? Y aviez-vous au moins une fois songé jusqu'ici?
Oui, saviez-vous que ETRE
c'est tout simplement "CHOSER"?
Ne cherchez pas dans le dictionnaire français, car "CHOSER" n'y est pas en tant que synonyme du verbe "ETRE".
Mais cliquez plutôt ici
pour dévouvrir pourquoi ce qui devrait être évident est brouillé dans nos psychés...
La Théorie universelle des ensembles, c'est aussi cela: remettre les notions en ordre dans
nos psychés brouillées
(cet aspect est l'objet du Verba,
la Langue du verbe ETRE,
la langue qui nous fait repenser correctement l'ETRE)!
A partir du seul mot CHOSE
toutes les notions de la Théorie universelle des ensembles sont définies:
Ensemble, Elément, Univers, Existence, Négation, Egalité (Identité et Equivalence), Générescence (ou Fractale), etc.
Autrement dit, toute la connaissance de l'Univers repose sur un seul mot:
le mot CHOSE
ou son verbe, à savoir le verbe ETRE...
Qui a dit que la science devait obligatoirement être très compliquée et réservée aux spécialistes et aux initiés?
Le Diable peut-être. Sûrement. Très sûrement...
Je vous propose de découvrir ici la Théorie universelle des ensembles, le noyau de la Science de l'Univers TOTAL. C'est ici les bases techniques communes de tout ce qui est dit partout ailleurs dans le site. Tous les autres documents détaillent tout simplement celui-ci, l'approfondissent ou appliquent les connaissances de base exposées ici à des domaines particuliers.
Partout, vous allez rencontrer constamment des idees de ce genre: "L'Univers TOTAL est l'Ensemble de toutes les choses". Partout, les raisonnements s'articulent autour de la notion d'ensemble et d'élément, que ce soit pour:
Oui, partout donc, il est toujours question d'ensemble et d'élément, et en particulier de l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses! C'est la clef de compréhension de tout!
Dans le paradigme de l'Univers TOTAL, U,
les domaines, quels qu'ils soient, y compris la philosophie ou la théologie,
ne sont plus séparés, ils sont la seule et même science exacte:
la Théorie universelle des ensembles ou la Science de l'Univers TOTAL.
Les différents domaines sont simplement des manières différentes
d'aborder la même science, le même objet: l'Univers TOTAL.
De ceci découle une autre grande nouveauté, d'une extrême importance:
Désormais, on ne dit plus par exemple:
"Quelle utilité peut avoir cet objet mathématique, quel sens il a,
peut-il avoir une application en physique, en informatique, en biologie, etc.?"
On ne dit plus non plus:
"Cette théorie de physique mathématiquement exacte est-elle physiquement exacte?
Correspond-elle à une réalité physique? Traduit-elle une réalité dans l'Univers?"
Ou encore, plus simplement, il n'est plus nécessaire
qu'une théorie mathématique soit vérifiée par l'observation et par l'expérience
pour qu'on puisse dire qu'elle traduit une réalité de l'Univers.
L'Univers TOTAL est donc la fin de l'actuel paradigme de la physique expérimentale.
Il faut maintenant comprendre ceci:
Tout objet mathématique, quel qu'il soit, toute vérité mathématique,
traduit toujours une certaine réalité dans l'Univers!
Mais seulement, cette réalité peut ne pas être directement accessible dans le contexte où l'on est,
elle peut ne pas être observable à l'échelle où l'on se trouve,
ou encore, on peut ne pas avoir (pour l'instant) les moyens d'explorer les choses
dans le contexte où à l'échelle où se trouve la chose mathématiquement décrite, etc.
Mais dans tous les cas, dans le nouveau paradigme,
on sait que cette chose mathématique traduit une réalité de l'Univers!
Si ce n'est pas le cas, cela signifie alors que l'Univers dont on parle n'est pas TOTAL,
il n'est pas l'Ensemble de toutes les choses, il n'est pas la Réalité TOTALE!
Ceci est une simple autre manière d'exprimer
le Théorème de l'Existence:
"Toute chose existe dans l'Ensemble de toutes les choses",
ou simplement: "Toute chose existe dans l'Univers TOTAL".
C'est ici que que réside toute la différence
entre les sciences actuelles qui ignorent ou même nient l'Univers TOTAL,
et la Théorie universelle des ensembles, la Science de l'Univers TOTAL.
La Théorie universelle des ensembles, c'est donc le cadre scientifique où l'on peut enfin traiter de toutes les questions sans aucune exception, avec une seule et même methodologie scientifique, la Théorématique, autrement dit tout simplement, la méthode scientifique pour traiter de l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses, donc de toutes les choses.
Dans le paradigme de l'Univers TOTAL, toutes les sciences sont simplement des spécialisations d'une seule science, à savoir justement la Théorie universelle des ensembles que voici, que voilou, que voilà!
Comme évidemment je ne peux pas tout traiter dans le même document, les autres sont là pour détailler tel aspect ou tel autre. C'est le vieux et classique concept des "mathématiques appliquées" à ceci ou cela, ou des "mathématiques appliquées" à toutes les sciences et à tous les autres domaines. Sauf que maintenant, il y a une différence de taille avec ce vieux concept: les sciences et les domaines ne sont plus séparées entre elles ou entre eux, mais chaque science est simplement une manière différente d'aborder la seule et même Science de l'Univers TOTAL (très précisément donc la Théorie universelle des ensembles), exactement comme un oiseau du ciel peut aborder un seul et même arbre par n'importe laquelle de ses branches. Et une fois entré dans l'arbre par n'importe laquelle de ses branches, on peut naviguer dans cet arbre et atteindre n'importe quelle autre branche de l'arbre.
Autrement dit, toute science, si elle est poussée suffisamment loin, finit toujours par atterrir dans les sentiers de toute autre science et devenir celle-ci, et tout domaine, s'il est étudié à fond, finit tôt ou tard par rejoindre tout autre domaine, si différent soit-il en apparence! Il faut donc définitivement enterrer la vieille vision de l'Univers et des choses, qui consiste à séparer tout, à tout sauciçonner au couteau tranchant, à tout massacrer à la tronçonneuse, à affirmer comme une brute que telle question n'a aucun rapport avec telle autre, etc.
Il n'y a rien de plus FAUX, de plus anti-scientifique, pour une raison très simple, que tout le monde, avec un minimum de bon sens, peut comprendre facilement: L'Univers est un TOUT indissociable, donc forcément toutes les questions sont liées dans l'Univers. L'Univers qui a produit l'homme qui fait les mathématiques est exactement le même aussi qui produit l'homme qui philosophe. Et l'Univers qui a produit l'homme qui fait la physique ou la biologie est exactement aussi celui qui a produit l'homme qui croit en Dieu ou au contraire qui nie l'existence de Dieu.
Donc, quand on dit (comme cela arrive souvent de le dire) qu'une chose A n'a "absolument aucun lien" avec une autre chose B il faut toujours beaucoup modérer cette négation de lien et la replacer seulement dans un certain contexte limité donné. Sinon, on dit une grave contre-verité concernant l'Univers. Car justement, l'Univers est le trait d'union et le dénominateur le plus commun entre deux choses quelconques A et B. Toutes les choses se trouvent dans l'Univers et c'est dans l'Univers que tout se passe. Donc tôt ou tard, deux questions, si séparées paraissent-elles, finissent toujours par se rencontrer. C'est parce que la science jusqu'ici ne se passait pas dans le paradigme de l'Univers TOTAL que cette évidence pouvait être facilement niée, et donc que l'on pouvait si sauvagement séparer les questions!
Mais c'est tout l'intérêt de travailler maintenant dans l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses. Là, finies toutes les négations et toutes les séparations... du Diable. Toutes les sciences forment maintenant une seule science unifiée, la Théorie universelle des ensembles que voici, que voilou, que voilà!
Le mot "universel" que vous rencontrez un peu partout dans le site signifie très exactement que ce dont il est question concerne l'Univers TOTAL, qui est l'Ensemble de toutes les choses. C'est le cas de la Théorie universelle des ensembles, la théorie de référence, ici exposée. Elle porte sur l'Univers TOTAL et sur tous ses objets, donc sur toute les choses. Vous êtes donc invité à découvrir la théorie des ensembles la plus générale qu'on puisse concevoir, bref qui est universelle...
De l'Infiniment grand à l'Infiniment petit, en passant par l'Homme et la Femme,
une seule et même Théorie universelle des ensembles, un seul et même langage universel des ensembles.
Le langage de l'Union des choses pour en faire un tout appelé "ensemble".
Un langage très facile, parce que c'est le langage le plus naturel qui soit, le langage de la Nature, de la Vie.
Un langage aussi beau que l'amour, aussi beau que de dire :
"Toi et moi nous sommes ensemble", "Toi et moi nous formons un ensemble", "Toi et moi nous sommes un".
Pas de panique, s'il vous plaît, cher lecteur, la technicité de la théorie des ensembles qui va suivre ne veut pas du tout dire que ce dont il est question est compliqué. C'est nouveau, c'est inhabituel peut-être pour vous, ce qui peut donner l'impression que tout cela n'est pas pour vous... Mais si! c'est pour vous. Ayez le courage d'entrer dans la théorie sans la survoler, auquel cas, c'est sûr, vous n'y comprendrez rien! Ou pas grand chose... Mais abordez, je vous prie, la théorie sans aucun préjugé ou complexe. Prenez le temps, je vous supplie, d'étudier la CHOSE, cherchez à comprendre. Et vous vous rendrez vite compte que c'est beaucoup plus facile que vous ne le pensiez... Et très intéressant... Et même passionnant... En tout cas très important!
En effet, la notion d'ensemble que je vous propose de découvrir aujourd'hui n'est plus la notion abstraite d'ensemble des théories des ensembles traditionnelles, qui est déconnectée de l'Univers, de la Réalité, de la Vie! Vous êtes invité à découvrir un très puissant concept d'ensemble: la notion d'ensemble physique et d'ensemble informatique. Il suffit d'avoir dit cela pour avoir dit aussi: ensemble biologique, ensemble psychologique, ensemble sociologique, etc. Ce sont les différents apsects de la notion d'ensemble. C'est tout simplement la notion d'ensemble de la réalité, de toute la réalité! C'est la notion d'ensemble que vous utilisez instinctivement, intuitivement, naturellement! Il en est ainsi, tout simplement parce que c'est le langage de l'Univers.
Avez-vous déjà dit une chose du genre: "Ceci est une fleur" ou "Ceci est un dauphin"?
Si oui alors vous avez parlé le langage universel des ensembles, que j'appelle simplement
le Verba.
Vous avez en effet dit: "Ceci est un élément de l'ensemble des fleurs"
ou "Ceci est un élément de l'ensemble des dauphins".
Et ce n'est pas tout, car la fleur ou le dauphin est un ensemble constitué d'une infinité d'éléments:
molécules, atomes, particules, etc., exactement comme vous et moi! C'est de cela que nous allons parler...
Si par exemple un jour dans votre vie vous avez dit une phrase du genre: "Ceci est une fleur" ou "Ceci est un dauphin", alors vous avez parlé Le Verba : la Théorie ontologique des ensembles, le Langage de l'ETRE! Le mot "Verba" vient simplement du mot français "verbe" ou du mot anglais "verb". Le verbe dont il est question est précisément le verbe "ETRE", qui se dit "ER" en Verba. C'est le verbe fondamental du langage des ensembles. Vous l'avez utilisé pour dire : "Ceci EST UNE fleur" ou "Ceci EST UN dauphin", et vous avez ainsi exprimé une relation d'appartenance à l'ensemble des fleurs ou des dauphins. Autant dire que nous utilisons le langage universel des ensembles constamment dans la vie de tous les jours, nous parlons simplement le Verba sans nous en rendre compte! Nous sommes en effet physiquement et informatiquement structurés selon la logique des ensembles physiques et informatiques dont nous allons parler. Par conséquent, toute notre psychologie est naturellement celle des ensembles, et tout notre langage est celui des ensembles. Alors autant en prendre conscience et l'apprendre maintenant comme il faut, pour être parfaitement en phase avec l'Univers...
En effet, le problème est que, comme une machine déréglée, nous ne fonctionnons pas totalement dans la logique des ensembles, comme nous devrions le faire. Le présent document nous fait découvrir simplement comment nous sommes constitués physiquement, la logique fondamentale de notre structure. C'est là où la notion d'ensemble physique a toute son importance. Ce document nous fait comprendre comme jamais auparavant la logique des ensembles. C'est selon cette logique que notre cerveau, tel un ordinateur, doit fonctionner.
L'Univers, un Cerveau, un Réseau de neurones, un Réseau d'ordinateurs,
et un Ordinateur
qui explique comment l'Univers est
physiquement
et informatiquement constitué,
donc comment nous sommes constitués et comment nous devons fonctionner.
Un seul et même langage universel des ensembles, le langage de l'Univers TOTAL.
Tous les secrets de l'Univers sont cachés dans notre cerveau. Nous n'exploitions qu'une infime partie des capacités de notre cerveau, tout simplement parce que nous ne parlions pas le langage de l'Univers. Si donc à partir de maintenant nous fonctionnons avec la logique et le langage de l'Univers TOTAL que nous allons découvrir dans ce document et d'autres qui détaillent cet aspect, alors informatiquement parlant, nous sommes connectés à l'Univers TOTAL, nous sommes en harmonie avec cette grande Machine dans laquelle nous sommes, avec ce grand Organisme qui nous engendre. Et alors de grandes nouvelles possibilités s'offrent à nous...
Le Verba, le langage du verbe ETRE (qui se dit ER en Verba).
Un langage mathématique, physique et informatique, très intuitif et d'une grande simplicité...
Contrairement aux langages scientifiques traditionnels, le Verba (que l'on peut considérer comme le langage universel des ensembles en tant que langage informatique très général) n'est pas un jargon, mais une langue qu'on peut parler comme le français ou l'anglais! Au fur et à mesure que les concepts de la Théorie universelle des ensembles seront définis, nous proposerons aussi de découvrir comment ils se disent en Verba. C'est un excellent moyen de découvrir la puissance de ce langage, qui est tout simplement un langage informatique, et qui est très simple, très intuitive et très naturelle!
Faire la science tout simplement comme on pense et on parle, ça ne se refuse pas! Un seul langage très simple à apprendre maintenant pour faire tout avec (mathématiques, sciences, informatique, etc.) ça ne se refuse pas! Un seul langage pour comprendre l'Univers et tous ses aspects, ça ne se refuse pas!
Nous poserons les définitions fondamentales de la théorie et en déduirons leurs conséquences, sans avoir besoin de dire à chaque fois : "théorème", "théorème", "théorème", pour ne pas effrayer ceux qui ont été traumatisés par le "Théorème de Pythagore" ou le "Théorème de Thalès"... Les théorèmes qui portent sur l'Univers TOTAL sont d'une extraordinaire simplicité, d'une "simplicité biblique" si l'on me permet cette expression. Ils coulent de source dès que les définitions sont posées, et seront donc naturellement glissés dans les explications sans obligatoirement indiquer que ce sont des théorèmes, de surcroît très importants. Nous ne signalerons comme tels que les plus importants d'entre eux, comme par exemple le Théorème de l'Existence. L'essentiel est tout simplement de faire comprendre l'Univers TOTAL...
Le Triangle de Sierpinski et un Arbre, deux exemples de
structure fractale.
Les plus grands secrets de l'Univers sont résumés par cette structure.
Le Triangle de Sierpinski est d'un très grand intérêt pédagogique.
Ils nous accompagnera dans la Théorie universelle des ensembles,
pour nous faire comprendre le nouveau paradigme de la théorie des ensembles,
car cette structure est très étroitement lié à la notion d'Univers TOTAL.
C'est ainsi que l'Univers est structuré, tout simplement...
Malgré le choix fait pour une simplicité maximale de l'exposé, le développement de la Théorie universelle des ensembles qui va suivre peut paraître encore trop technique au lecteur non initié à la théorie des ensembles, aux questions de mathématiques, de physique ou d'informatique théorique. Mais le Verba (qui accompagne ce développement technique) est justement là pour faire progressivement tourner la page de l'époque où la science était obligée d'être compliquée, de se dérouler dans un jargon hermétique pour le non initié. Les choses sont infiniment plus simples qu'on ne l'a fait croire jusqu'ici. C'est parce qu'on a très mal abordé l'Univers et les choses que les mathématiques, les sciences et les technologies sont devenues horriblement compliquées! Elle est révolue l'époque où comprendre les plus grands secrets de l'Univers était réservé seulement aux spécialistes...
L'Univers TOTAL, on le rappelle, est le paradigme de la Science de l'Univers TOTAL et de sa théorie clef qu'est la Théorie universelle des ensembles. Le nouveau paradigme inaugure aussi une nouvelle méthodologie scientifique, la Théorématique, qui s'oppose radicalement à l'Axiomatique, donc à la Théorie axiomatique des ensembles (Wikipedia), la manière actuelle de traiter la notion d'ensemble.
Plus généralement, la Théorématique met fin à la méthodologie scientifique actuelle, elle met fin à la science des axiomes et des hypothèses. Le simple fait de définir le concept d'Univers TOTAL et de travailler désormais dans cet ensemble suprême et cadre suprême rend inutile tout autre axiome, toute autre hypothèse de travail. L'Univers TOTAL à lui seul remplace tous les axiomes ou toutes les hypothèses qu'on a eu besoin de formuler dans le passé et tous ceux qu'on aurait besoin encore de formuler. Il suffisait de prendre la science par le bon bout, l'Univers TOTAL, et c'est fini, tout le reste devient automatique et très simple (pour plus de détails sur la méthodologie de la Théorie universelle des ensembles et de la Science de l'Univers TOTAL, voir La Théorématique: la méthode scientifique de l'Univers TOTAL)!
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Le mot clef le plus général et le plus fondamental de la Théorie universelle des ensembles est le mot CHOSE, en anglais thing, en Verba ux ou simplement x. Ce mot très universel est d'une extrême importance pour la définition du concept d'Univers TOTAL, mais aussi pour la nouvelle méthodologie scientifique qu'est la Théorématique, que nous commençons donc ainsi.
Le "X" signifie que ce mot joue exactement le même rôle que la célèbre variable "X", qui sert à désigner potentiellement tous les objets d'un ensemble donné, ensemble qui est son "domaine de variation". Par exemple, si on travaille dans l'ensemble R des nombres réels, alors "X" désigne potentiellement n'importe quel nombre réel, c'est-à-dire un nombre qu'on ne précise pas. On peut éventuellement le préciser (en disant par exemple "X = 0", "X = 4" ou "X = -53") ou travailler avec "X" dans toute sa généralité, dans les formules par exemple.
C'est exactement le rôle du mot UX pour dire CHOSE en Verba. X indique que c'est une variable, et U indique que son domaine de variation est l'Univers TOTAL U. C'est le nom commun le plus général dans la Théorie universelle des ensembles, la notion ou le mot qui désigne potentiellement tout et absolument tout!
Cette notion généralise toute autre notion, tout autre mot. Par exemple : "Un humain est une chose", "Un nombre est une chose", "Une galaxie est une chose", "L'amour est est une chose", "Dieu est une chose", etc. A l'inverse, toute autre notion ou mot précise ce mot général. Par exemple : "Cette chose est un humain", "Cette chose est un nombre", "Cette chose est une galaxie", "Cette chose est l'amour", "Cette chose est Dieu", etc.
"Une CHOSE est tout ce dont on parle, tout ce que l'on conçoit, tout ce que l'on désigne par un mot ou par une quelconque définition. Le mot CHOSE est le mot par défaut, le mot à utiliser avant tout autre mot, le mot en l'abscence de tout autre mot. C'est le nom commun le plus général, la qualité la plus fondamentale, la plus générale. C'est la définition minimale avant toute autre définition, la propriété minimale avant toute autre propriété, la précision minimale avant toute autre précision"
On ne s'en doutait pas, mais la notion de
CHOSE
possède une très importante propriété:
la récursivité, la générescence et la structure fractale
que montre le Triangle de Sierpinski, une structure fractale.
Nous utilisons très intuitivement et très naturellement dans notre langage ces propriétés,
sans nous rendre compte que derrière cela se cache les mêmes propriétés de l'Univers, que ce mot reflète.
L'égalité que montre cette image n'est plus l'actuelle très étroite
Identité
mais la très générale, très universelle et très puissante notion de l'égalité qu'est
l'Equivalence!
Le mot CHOSE
est le mot clef même de la science, il cache d'immenses secrets de l'Univers!
La notion d'ensemble qui lui est associée inaugure une très nouvelle et très puissante algèbre,
l'Algèbre du Cycle et de l'Equivalence,
de la Générescence et de la structure fractale,
que nous nommons aussi tout simplement:
l'Algèbre de la multiplication des pains!
Avec cela et d'autres grandes choses que la Science de l'Univers TOTAL permet de comprendre aujourd'hui,
on se demandera pourquoi on ne donne pas un Prix Nobel à titre posthume à quelqu'un comme Jésus Christ,
plutôt qu'à des
esprits de négation et aux apprentis-sorciers
comme Monod par exemple, par exemple...
Lui a eu un Prix Nobel, mais pas Moïse, pas Isaïe, pas même Jésus Christ!
Eux qui pourtant depuis des millénaires, en avance sur la science,
ont dit de très grandes vérités et de très grandes lumières sur l'Univers,
que la science est sur le point de découvrir seulement maintenant!
La notion de CHOSE possède une très importante propriété qui est la récursivité, ce qui veut dire qu'en fait cette notion se définit elle-même. Toute définition de cette notion cache une référence à la notion elle-même.
Par exemple, dans la définition :"Une CHOSE est tout ce dont on parle, tout ce que l'on conçoit, tout ce que l'on désigne par un mot ou par une quelconque définition..." le mot chose se cache dans le petit mot français CE. Cette définition dit donc: "Une CHOSE est toute chose dont on parle, toute chose que l'on conçoit, toute chose que l'on désigne par un mot ou par une quelconque définition..."
Cette référence du mot chose à lui-même n'est pas du tout un cercle vicieux, elle ne signifie pas que la définition de ce mot est une peudo-définition, mais bien au contraire! Elle met en évidence simplement la très importante propriété du mot chose qu'est la récursivité, mais aussi une très importante et très puissante propriété que nous appelons la générescence, l'arborescence ou la structure fractale de la notion de chose. Derrière cela se cache les mêmes propriétés de l'Univers TOTAL, que le mot chose ne fait que refléter, de même aussi que la notion d'ensemble que nous étudions ici.
Voici par exemple différentes façons de définir la seule et même notion d'ENSEMBLE ou de CHOSE, qui révèle leur récursivité, leur générescence, le lien très étroit entre les deux notions, mais aussi le lien avec le modèle qu'est l'arbre:
"Une CHOSE est une chose constituée d'autres choses appelées ses éléments"
"Une CHOSE est un ensemble constitué d'autres choses appelées ses éléments"
"Une CHOSE est un ensemble constitué d'autres ensembles appelées ses éléments"
"Un ENSEMBLE est une chose constituée d'autres choses appelées ses éléments"
"Un ENSEMBLE est une chose constituée d'autres ensembles appelés ses éléments"
"Un ENSEMBLE est un ensemble constitué d'autres ensembles appelées ses éléments"
La définition est dite récursive si la notion définie (que ce soit celle de chose ou d'ensemble) fait référence à elle-même.
Elle est dite universelle si elle repose sur la notion de chose (dans le cas où c'est la notion d'ensemble que l'on définit). Elle est dite alors aussi chosique ou physique (physique parce que c'est la définition des ensembles de l'Univers, de la réalité).
La définition est dite générescente (ou arborescente ou fractale) si la notion de chose ou d'ensemble définie et ses éléments dont il est question obéissent au même modèle, soit le modèle Chose soit le modèle Ensemble. Dans ce cas, la définition est comme cette définition d'un arbre: "Un arbre est une chose constituée d'autres arbres appelés ses branches". Ou cette notion plus générale et plus universelle de la notion d'arbre: "Un arbre est une chose constituée d'autres choses appelés ses branches". Ou cette définition très arborescente (ou générescente) de la notion de chose: "Une chose est un arbre constitué d'autres choses appelés ses branches.
La notion de chose et celle d'ensemble sont des facettes de la même notion, car tout ensemble est une chose (évidemment); et réciproquement toute chose est un ensemble, car au pire la chose est un ensemble dont l'unique constituant est la chose elle-même. C'est pourquoi donc la générescence de la notion de chose est aussi celle de la notion d'ensemble et vice-versa. Chacune des notions se définit à partir de l'autre, donc se définit à partir d'elle-même (récursivité).
C'est là où réside tout le secret et toute la puissance de la Théorie théorématique des ensembles, qui constitue donc un changement radical de paradigme par rapport aux théories axiomatiques des ensembles. La notion d'ensemble et la science en général n'a pas besoin d'axiomes. Elle a juste besoin de reposer sur la notion de CHOSE et sur son paradigme très naturel qu'est l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses.
Pour plus de détails sur cet très important mot CHOSE, voir Le mot CHOSE, la clef de la Théorématique, de la Science de l'Univers TOTAL.
Angélique LA Mathématique,
ici pour nous expliquer la nouvelle conception d'ensemble et d'élément,
la notion universelle d'ensemble, les ensembles physiques,
les ensembles de l'Univers, les les ensembles de Réalité!
Le corps humain, un ensemble physique, un ensemble concret, qui nous parle!
Voici tout simplement ce qu'est un ensemble au sens de la Théorie universelle des ensembles:
à savoir une chose constituée de plusieurs choses appelées ses parties, ses éléments.
Ici commence techniquement un voyage qui nous conduira à la découverte de l'Univers FRACTAL.
Commencer à comprendre les ensembles ainsi, c'est enfin commencer à nous comprendre...
C'est commencer à comprendre comment l'Univers TOTAL se structure, se constitue, se crée...
Et c'est commencer à comprendre comment l'Univers TOTAL nous crée...
Ce langage est tout simplement le langage de la structure fractale...
A partir du mot clef chose, on définit donc la notion générale d'ensemble et d'élément ainsi :
On appelle ensemble E une chose constituée de plusieurs choses appelées ses éléménts.
Si une chose e est un constituant d'une autre chose E
(comme par exemple le coeur est un constituant du corps ci-dessus),
on dit que e est une chose de E,
que e est un élément de E, que e appartient à E, etc. Et on note e ∈ E.
D'autres terminologies seront présentées par la suite, qui disent exactement la même chose.
Mais simplement, chaque terminologie aborde un aspect donné
de la seule et même notion d'ensemble et d'élémént qui vient d'être définie.
Comme en anglais, le mot ensemble se dit set en Verba
(c'est-à-dire le langage universel des ensembles).
Mais cela peut tout à fait se dire aussi enset, combinant ainsi le magnifique mot français
ensemble et le technique mot anglais set.
Et le mot élément se dit simplement el en Verba, mais peut se dire aussi elem.
Un ensemble physique appelé ici U (comme Univers) pour illustrer le principe pour tout l'Univers.
Comme pour le corps humain présenté ci-dessus, ceci est un ensemble au sens de la Théorie universelle des ensembles.
Cet ensemble peut être décrit comme étant constitué des trois choses A, B, C.
Ces choses sont alors appelées ses éléments, et on note : U = {A, B, C}.
Mais cet ensemble peut tout aussi bien être décrit comme étant constitué des dix choses : a, b, c, d, e, f, g, h, i, j.
Cet ensemble est alors noté : U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}.
Cette souplesse ou finesse est une des caractéritiques des ensembles physiques, les ensembles de la réalité
(par opposition aux ensembles abstraits des théories classiques des ensembles, déconnectés de l'Univers et de la réalité...).
Cette conception est tout simplement la manière naturelle dont chacun de nous conçoit et utilise quotidiennenent la notion d'ensemble.
Cette définition physique de la notion d'ensemble est la plus générale qu'on puisse énoncer. Elle s'applique même aux choses considérées (à tort comme on va le voir) comme étant purement abstraites, de nature purement mentale, et qui n'auraient aucune nature physique, comme par exemple les nombres. Considérons pour cela l'ensemble E des nombres entiers de 0 à 5. On a donc : E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. On dira simplement qu'il est la chose physiquement constituée des six choses : 0, 1, 2, 3, 4, 5. Peu importe donc la nature des choses qui constituent d'autres choses. Cela n'enlève rien à cette définition physique des ensembles, qui est donc extrêmement générale (on en reparlera dans la partie consacrée aux ensembles physiques et informatiques).
On appelle Univers TOTAL la chose constituée de TOUTES les choses.
Elle est donc (selon la Définition 1a) l'ensemble de toutes les choses, le plus grand de tous les ensembles physiques.
On note cet ensemble U.
De par sa définition même, toute chose X est un élément de U.
Ceci s'écrit: X ∈ U.
Avec le quantificateur universel noté actuellement "∀"
et qui signifie "TOUT" ou Pour TOUT ou QUEL QUE SOIT,
l'énoncé : "TOUTE chose est un élément de U" s'écrit: "∀X(X ∈ U)"
Mais en Verba, le langage de l'Univers TOTAL, "∀X(X ∈ U)" se dit simplement X ∈ U
et même simplement "UX" ou "CHOSE" en français et "THING" en anglais.
Le mot "CHOSE" est donc très étroitement associé à la à la notion d'Univers TOTAL ou simplement d'UNIVERS. Ce mot posé en premier comme nous l'avons fait, l'UNIVERS se définit en conséquence comme l'ensemble de toutes les choses, qu'on note "U". Et inversement, si nous avions posé en premier la notion d'UNIVERS, le mot "CHOSE" se définit en conséquence comme signifiant très précisément "ELEMENT de l'UNIVERS", qu'on note : "UX". Ceci simplifie le propros et évite d'avoir à traiter en Théorie universelle des ensembles des formules du genre "∀X(X ∈ U)". Tout cela peut être remplacé par des mots très simples, comme "U" pour dire "Univers" ou "UX" pour dire "Chose".
L'Univers TOTAL est un élément de lui-même. Cette propriété fondamentale de l'Univers TOTAL est appelée l'Auto-appartenance de l'Univers TOTAL.
En effet, le Théorème de la TOTALITE dit que toute chose X est un élément de U,
ce qui s'écrit: X ∈ U.
Donc en particulier U est un élément de U. Cela s'écrit : U ∈ U.
Auto-appartenance de l'Univers TOTAL.
Ceci est à la base de sa structure fractale
N'oublions pas que nous parlons des ensembles physiques ou informatiques, des ensembles concrets, de l'Univers et de ses objets, et non pas d'objets abstraits, des constructions seulement de la pensée, des purs produits uniquement des axiomes, comme dans les traditionnelles théories des ensembles. Donc l'auto-appartenance dont nous parlons n'est pas une notion abstraite, mais signifie quelque chose de précis sur le plan physique qu'il faut commencer à comprendre maintenant. Elle signifie tout simplement que l'Univers TOTAL a une structure fractale.
Un exemple informatique simple d'auto-appartenance
et de structure fractale.
L'objet informatique U est élément de lui-même.
On a réalisé une petite chaîne d'auto-appartenance : U ∈ U ∈ U
qu'on peut noter simplement : UUU.
C'est un petit morceau de ce que nous appelons la Générescence U_1D (ou structure de l'Univers en une dimension):
...UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU....
Une manière très simple de réaliser un ensemble informatique qui vérifie cette propriété d'auto-appartenance de l'Univers TOTAL est par exemple de créer sur votre ordinateur un dossier nommé U. Dans ce dossier mettez des fichiers, par exemple trois images nommées A, B et E. Et créez dans ce dossier un nouveau dossier nommé lui aussi U, et dans lequel vous allez mettre des copies des mêmes fichiers A, B et E. Puis vous créerez dans celui-ci aussi un nouveau dossier que vous allez nommer U, et ainsi de suite.
Auto-appartenance et Structure fractale.
Voici ce qu'est une auto-appartenance sur le plan physique.
L'ensemble E a un élément e qui est son petit modèle,
c'est-à-dire tout simplement une autre version du même ensemble E.
Les deux sont deux objets physiques distincts mais ils sont équivalents
Maintenant que l'Univers TOTAL est défini, nous pouvons commencer à travailler dans cet Ensemble. Il simplifie énormément les choses, et il est un cadre de travail très confortable!
Dans la théorie axiomatique des ensembles (comme par exemple celle appelée ZF), voici la formule de l'Axiome de l'Ensemble Vide : "∃Y∀X(X ∉ Y)". Cette formule dit simplement qu'il existe un ensemble n'ayant aucun élément. A l'opposé, si on veut énoncer de la même façon l'Axiome de l'Ensemble Plein, il faut écrire la formule: "∃Y∀X(X ∈ Y)". Elle signifie qu'il existe un ensemble ayant tout ensemble pour élément. Donc en particulier, cet ensemble est élément de lui-même (auto-appartenance). En d'autres termes, cette formule dit simplement qu'une chose comme l'Univers TOTAL existe.
Mais il n'est pas nécessaire de travailler avec des formules de ce genre pour énoncer des vérités aussi fondamentales. Les formules deviennent complexes (ce qui ne veut pas forcément dire compliquées) quand on se spécialise, quand on quitte le domaine fondamentale pour un domaine spécialisé, comme par exemple le calcul du volume du duodécaèdre, la dynamique d'un tesseract, la trajectoire d'une navette spatiale ou les formules de la machine à voyager dans le temps...
Tesseract ou Cube 4 dimensions (Image Wikipedia).
Les formules complexes arriveront donc quand il s'agira de traiter d'un aspect très spécifique de la Science de l'Univers TOTAL et de la technologie qu'elle introduit. Mais pour l'instant, il est question d'établir les lois fondamentales et générales de l'Univers TOTAL, et celles-ci n'ont aucune raison d'être compliquées. Bien au contraire ces théorèmes ou ces lois fondamentales sont très simples! L'Univers TOTAL n'est pas une affaire d'axiomes, mais demande simplement à être correctement défini. Et alors il en découle immédiatement la loi d'auto-appartenance et par conséquence a une structure fractale, comme nous venons de le faire.
Il n'est pas facile de représenter une structure fractale en 4 dimensions, à plus forte raison en 5 dimensions, 6, etc., jusqu'à la structure en une infinité de dimensions, qui est celle de l'Univers TOTAL! Celui-ci est un ensemble physique dynamique, une structure fractale qui bouge, qui vit! Mais pour décrire ses lois les plus fondamentales, il est amplement suffisant d'utiliser des structures fractales statiques en 3 dimensions (comme l'Eponge de Menger ci-dessus), en 2 dimensions comme le Triangle de Sierpinski, ou même seulement en une dimension comme la Générescence U_1D:
... UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU ...
La Générescence U_1D nous suffit à élaborer le Verba, le langage informatique de l'Univers TOTAL, et aussi la langaue de l'Univers TOTAL. Le Verba est le reflet fidèle de ses propriétés fondamentales très simples, de sa structure, de sa logique, que nous commençons maintenant à découvrir petit à petit.
U = A
UU = B
UUU = E
UUUU = C
UUUUU = I
UUUUUU = D
UUUUUUU = O
...
Pour permettre d'apprendre rapidement l'Univers TOTAL à travers son langage et sa langue, un alphabet régulier et cyclique de 40 lettres a été adopté pour le Verba (20 consonnes et 20 voyelles), ainsi qu'une prononciation régulière indiquée dans l'Alphabet Phonétique International ou API. L'alphabet du Verba est l'ABECIDO, dont le début est indiqué ci-dessus (pour plus de détails, voir Le Verba : la Linguistique universelle, la Langue universelle).
Un certain nombre de conventions ont été adoptées dans le Verba. Ainsi, la lettre pour parler d'un ensemble en général est E. Et les mots pour désigner les notions générales des ensembles ont comme voyelle principale la lettre E, par exemple : SET ("ensemble"), EL ("élément"), ER ("verbe être"), EX ("existence" ou "chose appartenant à un ensemble"), etc.
La lettre pour parler de l'ensemble spécial qu'est l'Univers TOTAL est U. Et les mots pour désigner les notions relatives à l'Univers TOTAL (notions dites pour cela universelles ou absolues) ont comme voyelle principale la lettre U, par exemple : SUT ("ensemble physique"), UL ("constituant"), UR ("verbe absolu être"), UX ("chose"), etc.
Les mots de base du Verba : SET (ensemble), EL (élément), ER (être ou =), EX (existence), etc.
La phrase "e est un élément de E" se dit en Verba : "e er an el of E" ou "e eranelof E".
Et "e appartient à E" se dit : "e elar E"
("ar" est l'opérateur verbal général, qui transforme n'importe quel mot comme par exemple "el" en verbe).
Si on avait en français le verbe "élémenter" pour dire "être un élément de" comme on a le verbe "constituer" pour dire "être un constituant de",
cela donnerait exactement le sens du verbe "elar".
L'énoncé "e est un constituant de E" se dit : "e er an ul of E" ou "e eranulof E".
Et "e constitue E" se dit : "e ular E".
Les relations mathématiques possèdent en général une relation réciproque; par exemple ">" ("supérieur") est la réciproque de "<" ("inférieur"). Dire par exemple que "3 < 5" c'est dire que "5 > 3". En Verba, tout verbe qui exprime une relation entre deux choses a de la même façon un verbe réciproque.
Si e ∈ E, alors on écrit aussi : E ∋ e, ce qui se dit : "E possède e",
en Verba : "E zielar e" ("zi" signifie "réciproque").
Mais la même idée peut simplement se dire : "E setar e", "setar" qui se dirait en français "ensembler".
Mais le Verba permet aussi d'exprimer la réciproque d'une autre manière simple, en inversant l'ordre des lettres des mots courts les plus fondamentaux, comme c'est la cas de "EL" par exemple. La réciproque de "EL" est "LE", et donc dire que "e er an el of E", c'est dire que "E er an le of e". Le mot "le" introduit, on a aussi automatiquement introduit son verbe "lear". Et donc, "E er an le of e" peut se dire aussi : "E lear e", qui veut donc dire : "E possède e".
C'est la même logique pour les termes en "U". Par exemple "E ziular e" ou "E sutar e" ou "E luar e" est à comprendre : "E est constitué entre autres de e", etc.
Une très importante règle du Verba est celle-ci: dès que l'on fournit un certain modèle,
ce modèle s'applique exactement de la même manière pour tous les éléments de l'Univers TOTAL,
c'est-à-dire simplement à toutes les choses.
Le modèle doit être appliqué sans aucun a priori, même si cela semble être absurde ou n'avoir aucun sens!
Dans l'Univers TOTAL (et par conséquent en Verba) tout a un sens. Il n'y a que des sens que l'on ignore ou que l'on ne comprend pas.
Les langages en général n'autorisent pas la totale et libre association ou combinaison des idées,
ils ne laissent pas l'intuition ou le cerveau s'exprimer dans toute sa puissance.
Mais avec le Verba, il nous faut maintenant libérer notre cerveau de toutes les contraintes et entraves inutiles.
Il faut le laisser faire toutes les associations inhabituelles entre les choses, toutes les opérations possibles et imaginables.
C'est ainsi qu'en toute simplicité notre cerveau nous fera découvrir d'extraordinaires vérités sur l'Univers,
que nous ne pouvions pas connaître auparavant, à cause de toutes les brides philosophiques, linguistiques, culturelles ou autres que nous lui avions mises.
Récapitulons la notion d'ensemble et d'élément avec la définition suivante:
Dans le langage universel des ensembles, les énoncés suivants sont différentes manières de dire une seule et même chose:
1 - "e elar E" : "e appartient à E"
2 - "e er an ux of E" : "e est une chose de E"
3 - "e er an el of E" : "e est un élément de E"
4 - "e ular E" : "e constitue E"
5 - "e er an ul of E" : "e est un constituant de E"
6 - "e er an ex of E" : "e est une existence de E"
7 - "e exer ihn E" : "e existe dans E"
8 - "e er ihn E" : "e est dans E"
(on reviendra plus en détail sur ces trois derniers points qui concernent la définition de la notion d'existence dans le langage des ensembles.)
Et la réciproque de ces énncés s'obtient en mettant l'opérateur "zi" (ou "inverse") devant le verbe de l'énoncé,
ou en utlisant les verbes "setar" ou "sutar".
Diagramme de Venn illustrant la relation d'Appartenance.
Les différentes manières d'exprimer l'appartenance de la chose e à l'ensemble E.
Le verbe ETRE (en Verba "ER") est le verbe fondamental du langage des ensembles. Ce verbe est tout simplement synonyme de la relation d'Egalité, fondamentale en science. En effet, "A = B" signifie simplement "A EST B", en Verba "A ER B".
La seconde relation fondamentale du langage des ensembles est la relation d'Appartenance, celle qu'on vient de voir en détail. Elle s'exprime simplement par un énoncé de la forme "A EST UN B", en Verba "A ER AN B". Ceci est tout simplement une autre approche de la notion d'ensemble et d'élément, l'approche par le langage, par le Verba. Nous parlons alors d'apporoche "verbatique" (adjectif de "Verba").
On appelle ensemble tout simplement n'importe quel nom commun, qu'on notera par convention x (en minuscule).
Ce nom commun définit l'ensemble de tous les x. En effet, dire que "A est un x" (en Verba "A er an x"),
c'est dire que A est un élément de l'ensemble de tous les x, qu'on notera par convention X (en majuscule).
Ce type d'ensemble est appelé un ensemble verbatique ou encore un ensemble quantique (au sens de la physique quantique).
C'est un cas particulier de la notion générale d'ensemble physique ou simplement d'ensemble.
Les éléments d'un ensemble quantique (ou verbatique) sont appelés des quanta (pluriel de quantum).
Cela veut dire que ce sont des unités, et surtout que ce sont les unités d'un même modèle désignées par un même nom commun.
Et dans un langage informatique, ont dit qu'ils sont les différentes instances d'une même classe,
ou encore les occurrences d'une même notion.
Par exemple, si on considèle le nom commun "humain" (qui se dit en Verba "hum"), alors dire que "A est un humain" (en Verba "A er an hum"), c'est dire que "A est un élément de l'ensemble de tous les humains". Autrement dit, le mot "humain" définit verbatiquement l'ensemble de tous les humains, qui est un ensemble verbatique ou quantique.
Cela veut dire que les éléments de cet ensemble sont les unités d'un même modèle, le modèle "humain". C'est comme si tous sortent d'un certain même moule dont la spécialité est de fabriquer les humains en série, de fabriquer des copies d'un modèle nommé "humain". Chaque élément de cet ensemble quantique est une occurrence de la notion "humain", de sorte qu'il suffit d'avoir vu un pour savoir ce qu'est un humain.
Comme pour le mot "humain", les noms communs suivants définissent chacun un ensemble verbatique ou quantique: arbre, oiseau, ange, démon, caillou, molécule, atome, particule, proton, neutron, électron, boson, quark, planète, étoile, galaxie, univers, etc. Et le roi de tous les noms communs est tout simplement le mot chose! C'est en effet le nom commun le plus général de la Théorie universelle des ensembles.
A er an delphina (A est un dauphin),
A er an el of Set of delphinaes (A est un élément de l'Ensemble de tous les dauphins),
A er an el of Delphina (A est un élément de Dauphin)
B er an hum (B est un humain),
B er an el of Set of humes (B est un élément de l'Ensemble de tous les humains),
B er an el of Hum (B est un élément de Humain)
C er an cianivers (C est une galaxie),
C er an el of Set of cianiverses (C est un élément de l'Ensemble de toutes les galaxies),
C er an el of Cianivers (C est un élément de Galaxie)
Nous adoptons la convention suivante, qui est essentiellement d'ordre pratique, mais aussi qui répond à la logique des ensembles, qui est celle de l'Univers TOTAL: un nom commun sera en général écrit en minuscule, sauf si une raison spéciale oblige à l'écrire autrement. Et un mot en majuscule (sauf précision contraire) désigne en général soit une chose précise, un individu, soit un ensemble verbatique. Celui-ci est à prendre comme un seul individu, et c'est ce qu'il est! En effet, c'est le sens même de la notion d'ensemble, à savoir plusieurs choses prises comme une seule chose, un seul individu.
Par exemple, "Théophile" désigne un humain particulier, donc le mot "Théophile" est en majuscule. Mais Théophile est un humain, le mot "humain" est un nom commun, donc il est écrit en minuscule. Théophile est un élément de l'ensemble de tous les humains, l'ensemble verbatique défini par le nom commun "humain". Cet ensemble est une chose particulière, donc un nouvel individu noté par défaut "Humain" (en majuscule), à défaut donc de lui donner éventuellement une autre appellation. Cet ensemble "Humain" est une chose, le mot "chose" est en minuscule car c'est un nom commun, en l'occurrence le nom commun le plus général. Il définit verbatiquement l'ensemble de toutes les choses qui est tout simplement l'Univers TOTAL, noté U. S'il n'avait pas reçu un nom spécial, son nom par défaut aurait simplement été "Chose" (en majuscule), parce qu'il est l'ensemble verbatique défini par le nom commun "chose".
Et enfin l'Univers TOTAL U est lui-même une "chose". Autrement dit on a la vérité simple suivante: "U est une chose", en Verba : "U er an ux". Donc l'Univers TOTAL U est un élément de l'ensemble de toutes les choses, c'est-à-dire tout simplement il est un élément de lui-même: U ∈ U. Nous retrouvons ainsi l'auto-appartenance de l'Univers TOTAL par la voie verbatique. Non seulement cela, elle apparaît comme l'expression même du terminus des ensembles verbatiques, elle signifie que l'on a atteint le plus grand de tous les ensembles, l'aboutissement du Verba, le langage universel des ensembles. Une théorie des ensembles ou un langage des ensembles qui n'aboutit pas à ce terminus obligé et à la loi U ∈ U, est incomplète!
Et maintenant une remarque d'une très grand importance:
N'oublions pas que nous travaillons maintenant dans l'Univers TOTAL, et donc que tous ce que nous disons s'inscrit dans ce cadre général.
Par conséquent, quand nous disons que le nom commun x définit verbatiquement l'ensemble de tous les x,
on ne parle pas de l'ensemble de tous les x de Paris, de la Terre ou de la Voie Lactée.
Mais nous parlons de de l'ensemble de tous les x de l'Univers TOTAL!
Ceci est extrêmement important car quand par exemple nous disons que le nom commun humain
définit verbatiquement l'ensemble de tous les humains, nous ne parlons pas seulement de
l'ensemble de tous les humains de la seule planète Terre,
mais de l'ensemble de tous les humains de l'Univers TOTAL!
Car rien ne nous autorise à dire que le modèle humain n'existe que sur la Terre.
Le dire est tout simplement un a priori ou une affirmation purement gratuite, qui n'a aucun fondement scientifique.
L'expression "ensemble de tous les x" (donc par exemple "ensemble de tous les humains")
obéit tout simplement au modèle qu'est l'Univers TOTAL, à savoir le modèle "ensemble de toutes les choses".
Chaque ensemble verbatique est défini selon exactement le même modèle, en fonction du nom commun qui le définit.
Rien ne nous autorise à dire qu'on se limite à tel ou tel contexte, ni même à ce que la science actuelle
appelle l'Univers (en majuscule). La seule façon de parler vraiment de l'Univers (en majuscule),
c'est de parler de l'Univers TOTAL, l'ensemble de toutes les choses,
ce qui n'est pas le cas actuellement.
est écrit en général en minuscule, et l'ensemble verbatique correspondant est écrit en majuscule. Cette convention est simplement d'ordre pratique: une fois qu'on a le nom commun, cela évite d'introduire à chaque fois un nouveau nom ou symbole pour désigner l'ensemble verbatique correspondant, par exemple H pour désigner l'ensemble de tous les humains. On dira alors simplement "Humain" (en majuscule), et on sait tout de suite à quel nom commun il correspond, en l'occurrence "humain". Ainsi, le nom en majuscule (l'ensemble donc) sert aussi à désigner la notion ou le modèle dans toute sa généralité, et un élément de cet ensemble est un réprésentant de la notion ou du modèle, une occurrence, un quantum, une unité.
De même par exemple, l'ensemble de toutes les étoiles est appelé "Etoile", et une étoile particulière (comme par exemple l'Etoile polaire)
Un humain particulier comme Théophile par exemple est lui aussi un ensemble, un corps fait d'une tête, de thorax, de membres, d'organes, etc. Mais à la différence de l'ensemble verbatique qu'est l'ensemble des humains, Théophile n'apparaît pas comme étant un ensemble verbatique ou quantique. En effet, à première vue ou à l'échelle ordinaire, Théophile ne semble pas comme être constitué de quanta, d'objets semblables répondant à un même modèle et pouvant être désignés par un seul nom commun. C'est quand on examine Théophile à des échelles infiniment petites que ces quanta apparaissement, d'abord par exemple les cellules, puis les molécules, puis les atomes, puis les particules, etc.
Si l'on considère ce nom commun "chose" (qui se dit en Verba "ux"), alors dire que "A est une chose" (en Verba "A er an ux"), c'est dire que "A est un élément de l'ensemble de toutes les choses". Cet ensemble spécial associé au nom commun "chose" est appelé l'Univers TOTAL, et noté U. Autrement dit, le mot "chose" définit verbatiquement l'Univers TOTAL, l'ensemble de toutes les choses.
A l'inverse, si on a un certain ensemble quelconque E donné, on peut toujours introduire un nouveau nom commun comme par exemple "elofe", qui a exactement le sens de l'expression : "élément de E", qui se dit en Verba: "el of E" (d'où l'exemple "elofe" que nous avons pris). Dire alors que "e est un elofe", c'est donc dire : "e est un élément de E", en Verba "e er an el of E".
Nous arrivons maintenant à la très importante notion d'existence et au premier théorème important de la Théorie universelle des ensembles: le Théorème de l'Existence. Ici s'achèvent toutes les conceptions philosophiques subjectives de la question d'existence, ainsi que toutes les spéculations. Avec l'Univers TOTAL, la question devient extrêmement simple, claire et limpide! Elle est maintenant une affaire de science exacte, de théorème. Elle est réglée de manière absolue.
Soient un ensemble E et e un élément de E.
On dit alors que e existe dans E ou que e est une existence de E.
On dit aussi que E est un contexte d'existence de e.
On parle d'existence absolue si en particulier l'ensemble E est l'Univers TOTAL.
Dans tous les autres cas, on parle d'existence relative, plus précisément relative à l'ensemble E.
En Verba, le mot EXISTENCE se dit EX.
Et l'énoncé "e existe dans E" se dit : e exer ihn E.
Et "e est une existence de E" se dit : e er an ex of E.
Et "E est un contexte d'existence de e" se dit : "E er an ex kont of e" ou : "E er an kontex of e".
Le mot kont signifie donc contexte et le mot kontex signifie donc précisément contexte d'existence.
La notion d'existence comme on vient de la définir dans le langage des ensembles n'est pas une notion nouvelle. En effet, elle n'est qu'une autre manière d'exprimer la relation d'appartenance à un ensemble (voir la Définition 2). Autrement dit, dès l'instant que nous avons défini la notion d'appartenance, que ce soit du point de vue physique ou verbatique, nous avions déjà défini la la notion d'existence.
Opérations ensemblistes élémentaires et Contexte d'Existence des choses.
La notion d'Existence n'est qu'une autre manière d'exprimer la notion d'Appartenance à un ensemble dans l'Univers TOTAL.
La chose a existe dans le contexte A mais pas dans le contexte B (elle existe dans le contexte A - B).
La chose b existe dans le contexte B mais pas dans le contexte A (elle existe dans le contexte B - A).
La chose d existe à la fois dans le contexte A et B
(dans D qui est l'Intersection de A et B).
Les trois choses a, b et d existent dans le contexte C
(qui est la Réunion de A et B).
La chose e n'existe dans aucun des contextes précédents, mais existe dans le contexte E.
Et toutes les choses existent dans le contexte U, l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses,
qui est la Réunion de tous les contextes d'existence
(c'est le Théorème de l'Existence).
Toute chose existe dans l'Univers TOTAL.
En effet, l'Univers TOTAL est par définition l'Ensemble de toutes les choses. Donc toute chose est un élément de l'Univers TOTAL. Donc toute chose existe dans l'Univers TOTAL, au sens scientifique précis de la notion d'existence qui vient d'être définie dans le langage des ensembles. L'Univers TOTAL est donc tout simplement le plus grand contexte d'existence, le contexte d'existence absolue (voir la Définition 4)
Les énoncés suivants sont parfaitement équivalents:
- "e est une chose", en Verba : "e er an ux"
- "e est un élément de l'Univers TOTAL", en Verba : "e er an el of U"
- "e existe dans l'Univers TOTAL", en Verba : "e exer ihn U"
- "e est dans l'Univers TOTAL", en Verba : "e er ihn U"
- "e existe", en Verba : "e exer" ou "e uxer"
- "e est", en Verba : "e er" ou "e ur"
Autrement dit, quand l'existence est aboslue (c'est-à-dire quand le contexte d'existence est l'Univers TOTAL), il n'est plus nécessaire de préciser le contexte d'existence. Une phrase comme "e est une chose" se dit simplement "e est". Et inversement, si l'on ne précise pas le contexte d'existence (l'ensemble auquel est relativisée l'existence), cela signifie qu'on parle d'une existence absolue, c'est-à-dire l'existence dans l'Univers TOTAL.
On dit qu'un ensemble E est un sous-ensemble (ou une partie) d'un ensemble E',
ou encore que E est inclus dans E',
si tous les éléments de E sont aussi des éléments de E'. On écrit alors : E ⊂ E'.
En Verba, le mot sous-ensemble se dit subset.
Et le mot partie se dit sel ou ensel
ou encore setel, etc.
"E est une partie de E' " (ou "E ⊂ E' ") se dit donc en Verba :
"E er an sel of E' " ou de manière compacte : "E eranselof E' ",
ou simplement: "E selar E' ".
On peut aussi dire : "E subsetar E' ".
Par sel, ensel, setel, etc., on veut exprimer l'idée que la notion de "partie" est une notion intermédiaire entre celle d'ensemble et celle d'élément, une manière inférieure de dire "ensemble" et une manière supérieure de dire "élément". Et si on avait en français le verbe "partier" ou "sous-ensembler" pour dire "être une partie de" ou "être un sous-ensemble de", cela donnerait le sens exact des verbes "selar" ou "subsetar".
La réciproque de "E ⊂ E' " se note : "E' ⊃ E ", et se dit : "E' inclut E" ou "E' contient E", en Verba : "E' ziselar E" ou "E' slear E". Et on peut dire aussi : "E' supsetar E", "supset" signifiant "sur-ensemble", l'inverse de "sous-ensemble".
D'un point de vue verbatique, l'énoncé "E ⊂ E' " (ou "E est inclus dans E' ") signifie tout simplement que le nom commun des éléments de E' est plus général que le nom commun des éléments de E. Par exemple, le mot fruit est plus général que le mot pomme. Donc si "A est une pomme" alors "A est un fruit". Autrement dit, l'ensemble de toutes les pommes est un sous-ensemble de l'ensemble de tous les fruits.
On en déduit donc que, comme le mot chose est le mot le plus général, tout ensemble U, quel qu'il soit, est donc un sous-ensemble
de l'ensemble de toutes les choses, c'est-à-dire donc l'Univers TOTAL, U.
On a donc : E ⊂ U.
Une des caractéristiques fondamentales des ensembles physiques (les ensembles de la réalité),
c'est qu'être un élément d'un ensemble c'est toujours aussi être une partie de cet ensembles, et vice-versa.
Les deux notions sont fondamentalement la même notion avec les ensemble de la réalité.
Par exemple ici, la chose nommée 1 est un des trois éléments de l'ensemble que montre l'image.
Mais il est clair aussi que sur le plan physique, cet objet 1 est aussi une partie de cet ensemble.
En effet, la matière qui constitue cet objet (les molécules, les atomes, les particules, etc.)
est une partie de la matière qui constitue l'ensemble.
Le mot élément sert juste à indiquer les parties d'un ensemble
que nous décidons de considérer comme les plus petites ou comme les parties unitaires de l'ensemble.
Nous abordons maintenant un point crucial de la Théorie universelle des ensembles. Il s'agit de la trés importante notion de l'Egalité. La notion d'Egalité avec laquelle on fonctionne actuellement en mathématique et en sciences interdit de dire des choses comme : 0 = 1, 1 < 1, 1 > 1, etc., mais impose de dire seulement: 0 = 0, 1 = 1, 2 = 2, etc.
Et en physique actuellement, on ne peut pas avoir une équation ou une égalité du genre : E = RI, où E est une énergie qui se mesure en J (joule), et RI une tension qui se mesure en V (volt). On dit actuellement qu'une telle égalité ne respecte pas l'"équation aux dimensions", qui impose que les deux membres de l'égalité se mesurent dans la même unité, c'est-à-dire par exemple [J] = [J], [V] = [V], etc., mais pas [J] = [V]! Les égalités comme E = mc² ou U = RI (où U désigne ici une tension...) respectent cette "équation aux dimensions".
Mais cette conception de l'Egalité uniquement de la forme X = X est ce qu'il faut appeler précisément l'Identité. Nous appelons maintenant Equivalence les égalités de la forme : X = Y, par exemple 0 = 1, E = RI ou [J] = [V]. Nous disons aussi qu'il s'agit d'égalités de type Cycle:
L'égalité 0 = 1 est simplement l'expression du Cycle 1,
Ce n'est pas une identité mais une équivalence,
comme aussi 0 = 4 (Cycle 4), etc.
L'Equivalence (comme aussi la structure fractale ou le Cycle) est indissociable de la notion d'Univers TOTAL. C'est la notion d'Egalité avec laquelle nous fonctionnons dans la Théorie universelle des ensembles. Cette conception de l'Egalité est beaucoup plus générale et plus féconde. Voici les définitions techniques précises de l'Identité et de l'Equivalence.
Soient deux choses A et B. On dit que A et B
sont équivalents s'il existe un ensemble E ayant à la fois A et B pour éléments.
On dit alors que A et B sont équivalents ou égaux du point de vue de E (ou modulo E).
On écrit en Verba : A ERIV B (mod E) ou plus simplement A ER B (mod E), et on note : A = B (mod E).
Si A et B ne sont pas équivalents (ou égaux) du point de vue de E,
on dit qu'ils sont différents du point de vue de E.
La relation de Différence se dit en Verba : A NONERIV B et on note : A ≠ B.
Autrement dit simplement, deux choses A et B sont équivalentes si elles appartiennent toutes les deux à un certain ensemble commun E. Plus simplement encore, pour donner une définition verbatique de l'équivalence, les deux choses A et B sont équivalentes si elles répondent toutes les deux à un certain même nom commun, qui exprime une qualité commune. Elles sont alors équivalentes de ce point de vue.
Par exemple : "Théophile EST UN humain" et "Angélique EST UN humain"; donc Théophile et Angélique, même si l'un est un homme et l'autre est une femme, sont équivalents du point de vue de leur qualité d'humain, de leur appartenance commune à l'ensemble des humains, qui est ici l'ensemble E. On dira donc : "Théophile = Angélique" de ce point de vue.
Si A et B ne répondent pas tous les deux à un certain même nom commun, alors ils sont différents de ce point de vue, et on écrit donc : "A ≠ B". Par exemple, Théophile et Angélique ne répondent pas tous les deux au nom commun homme, et pas non plus au nom commun femme. Ils ne sont donc pas équivalents du point de vue de ces deux ensembles (ensemble des hommes ou ensemble des femmes), ces ensembles les différencient. Mais il existe toujours un ensemble qui les rend équivalents, par exemple l'ensemble des humains, ou simplement le nom commun humain. Et au pire, il y a un ensemble qui les rend équivalents, et qui est tout simplement l'Univers TOTAL.
En effet, deux choses A et B appartiennent toujours toutes les deux à l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses. Autrement dit, elles sont équivalentes du point de vue de leur qualité commune de chose. C'est l'équivalence la plus fondamentale, elle est d'une grande importance. Aucune différence n'est possible du point de vue de cette équivalence-là! En effet, il n'est pas possible de dire par exemple que "A est une chose" et que "B n'est pas une chose". Cela viole l'obligation requise pour le mot chose d'être le nom commun le plus général qui soit, celui qui définit l'Univers TOTAL, l'Ensemble de toutes les choses.
Soient deux choses A et B. On dit que A et B
sont identiques si tout ensemble E ayant A pour élément
a aussi B pour élément, et vice-versa.
On écrit en Verba : A ERID B et on note : A == B.
Si A et B ne sont pas identiques, on dit qu'ils sont distincts.
La relation de Distinction se dit en Verba : A NONERID B et on note : A ≠≠ B.
Autrement dit simplement, deux choses identiques sont équivalentes à tout point de vue! On ne doit noter la moindre petite différence entre les deux, le moindre ensemble où l'une est et pas l'autre, la moindre position dans l'espace ou dans le temps où l'une se trouve et pas l'autre, etc. Dans ce cas-là, cela signifie qu'on n'a pas DEUX choses physiques, mais seulement UNE SEULE chose physique. A et B ne sont dans ce cas que des noms différents pour désigner cette seule et même chose. Si donc on n'a pas UNE SEULE chose, alors c'est qu'on a deux choses distinctes.
Deux choses différentes sont nécessairement distinctes.
Mais l'inverse n'est pas vrai, car deux choses distinctes peuvent être égales, c'est-à-dire équivalentes!
Et deux choses identiques sont forcément équivalentes, car l'identité est un cas particulier d'équivalence, l'équivalence à tout point de vue.
Mais l'inverse n'est pas vraie, deux choses équivalentes ne sont pas nécessairement identiques, elles peuvent tout à fait être distinctes!
Pour plus de détails sur l'Identité et l'Equivalence, voir Identité et Equivalence, Négation et Alternation.
Soient deux ensembles A et E. On dit que A a une structure générescente modulo E, si s'il existe un élément a de A tel que A et a soient des éléments de E. On dit aussi que A a une structure fractale, ou encore que A est une générescence ou une fractale.
Autrement dit simplement, un ensemble A a une structure fractale si A est équivalent à au moins l'un de ses éléments, d'un certain point de vue. Il s'agit d'une définition extrêmement générale de la structure fractale.
Un ensemble E peut n'avoir aucun élément; on l'appelle alors l'ensemble vide. On l'appelle aussi Alpha, et le note Ø. Cet ensemble est la définition du nombre Zéro, noté alors 0. Plus généralement, dans la Théorie universelle des ensembles, les mots du genre Rien, Vide, Zéro, Point, Particule, etc., sont parfaitement synonymes, ils sont tous maintenant regroupés sous une seule appellation commune : Alpha.
Mais attention! Nous travaillons maintenant dans le paradigme de l'Equivalence et de la structure fractale. Dans ce paradigme, la notion de Vide, de Zéro etc., est très différente de la conception actuelle de ces termes, en mathématiques comme en physique. Dans le paradigme de la structure fractale, le mot "vide" est à comprendre "infiniment petit", ou "le plus petit de tous les ensembles", ou "le premier de tous les ensembles", ou "la fondation" (allusion au classique "axiome de fondation"), ou "l'ensemble avec lequel on commence la construction de tous les ensembles", etc. Dans la nouvelle conception (qui est fractale donc), il existe toujours un autre Alpha (ou Vide ou Zéro) avant tout Alpha donné, il existe toujours un plus petit que le petit que l'on considère comme point de départ. Les deux Alpha (ou Vide ou Zéro) sont très différents, et pourtant il s'agit du seul et même Alpha! Il suffit de regarder une structure fractale pour comprendre cette logique:
Le Triangle de Sierpinski, une structure fractale.
La figure montre un Alpha: la nouvelle conception du Rien, du Vide, du Zéro, du Point, de la Particule, etc.
et un Oméga: la nouvelle conception du Tout, du Plein, de l'Infini, de l'Espace-Temps, de l'Univers, etc.
Regardez bien la structure, et vous verrez qu'il existe toujours un Alpha plus petit que tout Alpha considéré,
et vous comprendrez aussi pourquoi il existe toujours un Oméga plus grand que tout Oméga considéré.
Les Alpha sont très différents, et pourtant c'est toujours le même Alpha, le même objet à différentes échelles.
Et aussi les Oméga sont très différents, et pourtant c'est toujours le même Oméga, le même objet à différentes échelles.
Et enfin, on a l'Equivalence : Alpha = Oméga
car il s'agit toujours de la seule et même structure qui se reproduit à toutes les échelles.
A l'opposé de l'ensemble vide, on a le cas particulier où l'ensemble E est la chose constituée de toutes les choses, donc y compris elle-même! Cet ensemble (l'ensemble de toutes les choses donc) est tout simplement par définition ce que nous appelons l'Univers TOTAL, et notons U. Il est appelé l'ensemble plein, et aussi Oméga, et on le note Ω. Il est la définition du nombre Infini, noté alors ω. De même que pour l'Alpha, les mots du genre : Tout, Plein, Infini, Espace-Temps, Univers, etc., sont parfaitement synonymes maintenant. On les regroupe tous sous une seule appellation commune : Oméga.
Attention! Ici aussi, la notion de Plein, d'Infini, etc., est très différente de la conception actuelle de ces termes en sciences. Comme le montre la strcuture fractale ci-dessus, il faut entendre par là : "infiniment grand", "le plus grand de tous les ensembles", "le dernier de tous les ensembles", "l'ensemble qui termine la construction de tous les ensembles", etc. Et il existe toujours un Oméga après l'Oméga, un plus grand après le plus grand, un dernier après le dernier, etc. Cela peut paraître étrange ou paradoxal, mais c'est tout simplement la logique de la structure fractale!
La caratéristique fondamentale de U, qui découle de sa définition même, est que U est un élément de lui-même! Nous appelons cette propriété l'auto-appartenance ou le fait d'être un auto-élément (öel en Verba). On a donc : U ∈ U. Cette propriété est la base même de la structure fractale de l'Univers TOTAL.
Tous les paradoxes dont on a toujours parlé dans la théorie des ensembles sont en fait de pseudo-paradoxes. C'est le cas par exemple du célèbre Paradoxe de Russell (Wikipedia). Et les solutions apportées jusqu'ici à tous ces paradoxes sont toutes des pseudo-solutions, qui ne s'attaquent pas à la vraie cause des problèmes. Les paradoxes viennent simplement du fait qu'on travaille dans le paradigme de l'Identité, et suivant l'ontologie de l'Identité, qui est l'ontologie d'Aristote : "Une même chose ne peut pas à la fois être et ne pas être" (fameux principe de non-contradiction (Wikipedia)). Mais tous ces paradoxes disparaissent quand on change tout simplement de paradigme et que l'on raisonne désormais dans le paradigme de l'Equivalence, qui est aussi le paradigme de la structure fractale.
Triangle de Sierpinski, une structure fractale.
Ici, A et B sont différents au sens de l'identité (A ≠ B), car chacun n'est identique qu'à lui-même.
Mais ils sont égaux au sens de l'équivalence (A = B), car les deux sont le même triangle de Sierpinski à deux échelles différentes.
Dans le paradigme de l'identité, l'énoncé "A = B ET A ≠ B" est un paradoxe,
car on dit qu'une même chose "EST" et "N'EST PAS" à la fois.
Mais dans le paradigme de l'Equivalence et de la structure fractale, ce n'est pas du tout un paradoxe.
Le Paradoxe de Russell (encore appelé "paradoxe du barbier) est le problème d'un ensemble A
dont les éléments sont exactement tous les ensembles X qui n'appartiennent pas à eux-mêmes (X ∉ X).
Et la question est de savoir si A appartient à lui-même.
Le problème peut téchniquement se résumer ainsi :
X ∈ A <=> X ∉ X.
A ∈ A ?
On aboutit alors à la situation suivante : A ∈ A <=> A ∉ A.
Autrement dit, pour la question posée, si A est élément de lui-même, alors il ne l'est pas.
Et s'il ne n'est pas, alors il l'est. C'est ce qu'on a appelé un paradoxe.
Mais il suffit de regarder par exemple l'ensemble A de la fractale de Sierpinski ci-dessus. Il n'appartient pas à lui-même au sens de l'identité, car aucun de ses éléments n'est identique à lui, tous sont distincts de lui. Mais A est élément de lui-même au sens de l'équivalence, car il est très facile de trouver un élément de A qui est lui aussi une fractale de Sierpinski comme A. Comme toute structure fractale, il est équivalent à une infinité de ses éléments, donc il appartient à lui-même dans ce sens-là.
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